19 de jan de 2012

O Processo de Poisson

Siméon Denis Poisson nasceu em Pithiviers, França, a 21 de Junho de 1781. Entrou na École Polytechnique em Paris em 1798, como primeiro colocado de sua turma, atraindo imediatamente a atenção dos professores da escola, deixando-o livre para escolher o que estudar. Teve como professores Laplace (1749 – 1827), Lagrange (1736 – 1813) e Fourier (1768 – 1830), tornando-se muito amigo destes.

image Em 1800, menos de dois anos depois de seu ingresso, publicou duas memórias, uma sobre o método da eliminação de Étienne Bézout, e a outra sobre o número de integrais de uma equação em diferenças finitas. Esta última foi examinada por Sylvestre François Lacroix e Adrien-Marie Legendre, que recomendaram sua publicação no Recueil des savants étrangers, uma honra sem precedentes para um jovem de dezoito anos.

Seu pai foi um administrador público e queria que ele fosse médico, mas Poisson não tinha vocação para a medicina. Em 1802 começou a ensinar matemática na escola onde se formou e em 1809 foi nomeado professor de matemática pura na faculdade de ciências.

Poisson publicou trabalhos que ajudaram a fazer da eletricidade e do magnetismo um ramo da física matemática. Efetuou, também, importantes estudos na área da mecânica, da astronomia, da geometria diferencial e da teoria das probabilidades.

Na teoria das probabilidades deu a sua grande contribuição, descobrindo uma forma limitada da distribuição binomial, a qual mais tarde, em 1810, obteve o seu nome: a distribuição de Poisson. É considerada uma das mais importantes distribuições de Probabilidades. Esta distribuição descreve a probabilidade como um acontecimento casual, ocorrido num espaço ou intervalo de tempo sob as circunstâncias de a probabilidade de um acontecimento ocorrer ser muito pequena, mas o número de tentativas é muito grande, então o atual acontecimento ocorre algumas vezes.

Publicou cerca de quatrocentos trabalhos entre os quais em 1837 a obra Recherches sur la probabilite des jugements. Foi nomeado membro da Academia Francesa e obteve o título de Barão em 1825.

Poisson morreu a 25 de Abril de 1840, em Sceaux, França.

O Processo de Poisson

Muitos fenômenos podem ser vistos como uma grande quantidade de “acontecimentos” separados e distintos ocorrendo em relação a um “espaço de acontecimentos” contínuos. Se o “espaço de acontecimentos” fosse o tempo, os acontecimentos poderiam ser qualquer coisa, como desintegração de átomos individuais de urânio ou mesmo suicídios no metrô de São Paulo. Por outro lado, o “espaço” contínuo pode ser o volume de um suprimento de água do reservatório de uma cidade e os “acontecimentos” ou “eventos” podem ser a existência de bactérias coliformes dentro deste volume de água.

Um fenômeno como qualquer dos descritos acima é chamado de Processo de Poisson, desde que as seguintes condições sejam cumpridas:

1) Se a variável t representa o espaço contínuo, então a probabilidade de um evento em um intervalo pequeno Δt de t é proporcional a Δt;

2) A probabilidade de dois ou mais eventos em um mesmo intervalo pequeno Δt de t é desprezível;

3) Se Δt1 e Δt2 forem dois intervalos pequenos de t não-superpostos, então a ocorrência ou a não-ocorrência de um evento em Δt1 não exercerão influência sobre a ocorrência ou não-ocorrência de um evento em Δt2.

Sob tais condições, a probabilidade de ocorrerem k eventos em t unidades do espaço contínuo é dada pela fórmula de Poisson:

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onde a constante λ é a média contínua do número de acontecimentos pode unidade do espaço.

Exemplo 1: Sabe-se que existem bactérias coliformes no reservatório de suprimento de água de uma cidade a uma taxa média de λ = 2 bactéria por centímetro cúbico de água. Considere que a presença da bactéria coliforme em uma amostra desta água é um Processo de Poisson, isto é, um acontecimento é a ocorrência de uma única bactéria e o espaço contínuo é o volume de água envolvido. Se uma amostra de 9 centímetro cúbicos de água é retirado do reservatório, qual é a probabilidade de a amostra conter exatamente 20 bactérias coliformes?

Temos aqui t =9 cm3, λ = 2 bactérias por cm3 em média e k = 20 bactérias. Logo, pela fórmula de Poisson:

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Exemplo 2: Em um certo livro de cálculo existem 4.000 exercícios propostos. As respostas para todos esses exercícios estão no fim do livro. Entretanto, 1% das respostas dadas são incorretas. A aluna Sofia faz 10 exercícios e então compara suas respostas com aquelas dadas no fim do livro. Qual a probabilidade de que todas as 10 respostas do fim do livro estejam corretas?

Apesar do espaço (isto é, as respostas no fim do livro) não ser realmente contínuo, existirão tantas respostas (4.000 delas) que poderemos seguramente desprezar esta descontinuidade e usar a fórmula de Poisson. Aqui, um evento é uma resposta errada. Como 1% das 4.000 respostas estão erradas, existem 40 respostas incorretas e desta forma, λ = 40/4.000 = 0,01 erro por resposta. Para t = 10 respostas e k = 0 erros, a pela fórmula de Poisson temos:

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Desta forma existe 90% de probabilidade de nenhum erro nas 10 respostas.

Suponha que tenha mos um processo de Poisson cujo espaço seja o tempo, de modo que em qualquer intervalo curto de tempo Δt podemos ou não observar um acontecimento; Seja λ o número médio contínuo de acontecimentos por unidade de intervalo de tempo. Pela fórmula de Poisson, a probabilidade de ocorrerem k acontecimentos em um intervalo de tempo t é dada por:

clip_image004[1]

Comecemos a observar esse processo de Poisson e registrar o tempo passado T até o primeiro acontecimento. Denotemos a probabilidade de que o tempo de espera T até o primeiro acontecimento exceda t como:

clip_image010

Então, se tomarmos um exemplo, se P{T > 2} = 0,57, onde o tempo é medido em horas, em aproximadamente 57% dos casos, poderemos esperar pelo menos 2 horas antes que ocorra o primeiro evento. Analogamente, denotaremos por P {Tt} a probabilidade de que o tempo de espera T não exceda t. Vejam que se P{T > 2} = 0,57, então P{T ≤ 2} = 0,43. Generalizando:

clip_image012

Dizer que o tempo de espera T até que ocorra o primeiro acontecimento excede t é equivalente a dizer que existem exatamente zero acontecimentos no intervalo de tempo t. Portanto, utilizando-se a fórmula de Poisson com k = 0, temos:

clip_image014

e

clip_image016

onde λ é o número médio de acontecimentos por unidade de tempo.

Exemplo 3: As falhas que ocorrem em um certo tipo de motor de jatos obedecem aproximadamente a um processo de Poisson tendo em média uma falha a cada 1000 horas de operação. Qual é a probabilidade de um desses motores funcionar 1500 horas sem uma falha?

Temos que λ = 1/1000 falhas por hora. Logo:

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Exemplo 4: Sabe-se que erros de impressão ocorrem em um certo livro decido pelo Governo a uma taxa média de um por cada 100 páginas. Qual é a probabilidade de que o primeiro erro ocorra antes da página 76?

Neste caso, λ = 1/100 erros de impressão por página, logo:

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Referências:

[1] Munem-Foulis – Cálculo V1
[2] http://pt.wikipedia.org/wiki/Simeon_Poisson
[3] http://www.alea.pt/html/nomesEdatas/swf/biografias.asp?art=14


Veja mais:

No Cerne do ENEM, o Teorema de Bayes
O Teorema de Hardy-Weinberg
Regressão Linear
Regressão Polinomial

5 comentários:

  1. Uma vez fiquei abismado de encontrar minha data de aniversário, até mesmo do tipo $DD-MM-AA$ nas casas do número do $\pi$. A probabilidade realmente é uma coisa surpreendente. Gostei do artigo.

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  2. Muito bem explicado a vida, a obra e os processos de Poisson. Neste ano, irei estudar alguns assuntos de probabilidade e estatística e com certeza este post será uma referência.

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  3. #Teixeira, obrigado pelo comentário. Que interessante, nunca tinha pensado nisso. Vou ver se consigo achar alguma coisa do tipo nas casas decimais de $\pi$. Um abraço.

    #Paulo. Obrigado pelo comentário e elogio. Probabilidade é um campor que estuqdei muito pouco, infelizmente. Espero conseguir me dedicar um pouco mais.

    Abraços!

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  4. Oi, Kleber, eu acho que, conseguindo um número suficiente de casas decimais, de modo que faça um espaço amostral amplamente satisfatório, é possível encontrar até a tradução de Princípios Matemáticos da Fiosofia Natural. Eu testava números era no http://www.atractor.pt/fromPI/PIsearch.html.

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  5. Engraçado, vc tem uma hipergeometrica e vc quer usar o processo.

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