25 de jan de 2012

Centro de Gravidade de Áreas Planas

A massa (m) de um corpo é a medida da quantidade de matéria nele existente; já o volume (V) é a medida do espaço por ele ocupado. Se a massa por unidade de volume for constante através de todo o corpo, este corpo é homogêneo ou tem massa específica constante.

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Em Física é desejável considerar uma dada massa concentrada em um único ponto, denominado centro de gravidade. Se um corpo é homogêneo, esse ponto coincide com o centro geométrico. Por exemplo, o centro de gravidade de um círculo é o centro deste círculo. Isso é fácil de imaginar: posicione a ponta seca do compasso em uma folha de papel e descreva uma circunferência. Assim, o centro O onde foi posicionada a ponta seca do compasso é o centro de gravidade do círculo formado.

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O centro de uma folha de papel retangular se encontra entre as duas faces, porém consideramos como existindo em uma das faces, na intersecção de suas diagonais. Assim, o centro de gravidade de uma folha de pequena espessura coincide com o centro geométrico da folha considerada como uma área plana.

O momento (ML) de uma área plana em relação a um eixo L é o produto da área A pela distância de seu centro de gravidade ao eixo. O momento de uma área composta em relação a um eixo é a soma dos momentos das áreas componentes em relação ao eixo.

Para determinarmos o momento de uma área plana em relação a um eixo coordenado é útil fazer um esboço da área em questão. Assim podemos utilizar o conceito do retângulo elementar, que tem largura infinitesimal. Formamos, então, o produto da área do retângulo pela distância do seu centro de gravidade ao eixo. Em seguida, fazemos a soma para todos os retângulos, aplicando a integral definida.

Para uma área plana A, tendo seu centro de gravidade em clip_image006 e momentos denotados por Mx e My em relação aos eixos dos x e y serão dados por:

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Exemplo 1: Para exemplificar e nos acostumar com o método, vamos determinar os momentos e as coordenadas do centro de gravidade da figura abaixo.

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Com a geometria desta figura é simples, podemos dividi-las em vários retângulos, cujos centros de gravidade são denotados por: A, B. C e D.

Vejam que o retângulo superior (A) tem uma área A igual a 10 unidades de área (u.a.):

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E o centro de gravidade será:

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Vejam que a coordenada x é exatamente a metade do comprimento do retângulo e a coordenada y é a metade de sua altura. Mas para a altura, fazemos:

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Para o retângulo (B), temos que:

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Para o retângulo (C), temos que:

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E para o retângulo (D), temos:

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A área total da figura é:

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Podemos agora calcular os momentos dos retângulos em relação ao eixo dos x, fazendo o produto entre a área e a distância ao eixo dos x:

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Assim, o momento da área da figura em relação ao eixo dos x é a soma dos momentos dos retângulos individuais:

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E analogamente, o momento da área da figura em relação ao eixo dos y é:

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Logo, temos que:

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Assim, o ponto de coordenadas igual a (67/34 ; 5) é o centro de gravidade da figura.

Exemplo 2: Achar os momentos em relação aos eixos coordenados da área plana limitada no 2º quadrante pela curva x = y2 – 9.

Aqui vamos introduzir o conceito do retângulo elementar, que é um retângulo de largura infinitesimal. Considere o esboço do gráfico:

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Observando o retângulo elementar da figura acima, podemos ver que sua área é igual a clip_image058 e seu centro de gravidade é dado por clip_image060. Logo, seu momento em relação ao eixo dos x é clip_image062. Então:

clip_image064

clip_image066

Da mesma forma podemos determinar o momento do retângulo elementar em relação ao eixo dos y, que é igual a clip_image068. Então:

clip_image070

clip_image072

Exemplo 3: Achar o centro de gravidade da área limitada no primeiro quadrante pela parábola y = 4 – x 2.

clip_image074

O centro de gravidade do retângulo elementar é (x ; 1/2y).

A área sob a curva no primeiro quadrante será dada pela soma dos retângulos elementares:

clip_image076

Os momentos Mx e My serão dados por:

clip_image078

e

clip_image080

Para o cálculo das coordenadas do centro de gravidade, fazemos:

clip_image082

e

clip_image084

Logo, as coordenadas do centro de gravidade da área limitada pela parábola no primeiro quadrante da curva são (3/4 ; 8/5).

Exemplo 4: Achar o centro de gravidade da área sob a curva y = 2sen (3x), desde x = 0 à x = π/3.

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Fazendo uso do retângulo elementar, cujo centro de gravidade é igual a (x ; 1/2y), temos que:

clip_image088

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clip_image098

Para o cálculo das coordenadas do centro de gravidade, fazemos:

clip_image100

e

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Logo, as coordenadas do centro de gravidade da área limitada pela parábola no primeiro quadrante da curva são (π/6 ; π/4).

Referências:

[1] Cálculo Diferencial e Integral – Frank Ayres Jr. – McGraw-Hill


Veja mais:

O Cálculo Integral
Volume de uma Calota Esférica
Volume de um Segmento Esférico
Teste da Integral para Convergência de Séries

11 comentários:

  1. É por isso que li que Newton usou integral para dizer que a força G atua no centro das esferas. É interessante que naquela época foi uma ferramenta que ele próprio inventou...

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  2. Newton foi um cientista à frente de seu tempo. Realmente foi incrível suas descobertas, e hoje fazemos uso de muitas delas sem mesmo saber o quanto de energia foi desprendida a partir de uma ideia. Quanto mais eu estudo sobre Newton, maior é minha admiração.

    Abraços amigo.

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  3. Boa tarde Kleber Kilhian!
    Quero, antes de tudo, te dar parabéns pelo seu blog "baricentro da mente". Venho consultando ele para estudos particulares. As demonstrações são claras e objetivas. Se me permite, tenho uma curiosidade quanto a sua pessoa. Gostaria de saber o que você estudou e faz atualmente. É somente uma curiosidade, nada demais. Se puder me responder ficarei agradecido. No mais, desejo sorte na sua vida e saúde para você e sua família. abraços.

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  4. Perdoe kleber. Esqueci de colocar meu nome no comentário acima. Meu é Fernando.

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  5. Olá Fernando. Obrigado pelos elogios.
    Sou licenciado em Matemática pela faculdade UNIFIG em Guarulhos. No entanto, não leciono. Sou Técnico em Eletrônica há 18 anos e trabalho no ramo e atualmente estou numa empresa de tecnologia onde desenvolvemos computadores de bordo customizados, rastreadores, velocímetro digitais, entre outros. Em minhas horas vagas me dedico à minha família, e quando posso, estudo um pouco sobre os artigos aqui publicados.
    Fico satisfeito em saber que meu trabalho está ajudando outras pessoas.
    Fique a vontade em perguntar e volte sempre!
    Abraços.

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  6. no exemplo 1: Não seria 76/34 = 38/17 ?
    Assim, o ponto de coordenadas igual a (38/17 ; 5)?

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    Respostas
    1. Olá amigo. Sim, a resposta que dei só não foi simplificada. Assim a resposta que você deu está correta.
      Obrigado pela visita. Volte sempre!

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  7. O QUE QUIS DIZER É QUE VC COLOCOU 67/34 E NAO 76/34 QUE SERIA O CORRETO..

    OTIMA EXPLICAÇÃO..ME SALVOU NA PROVA DE RM ;)

    VLW

    SUGESTÃO: FAZER PASSO A PASSO DE UMA DIAGRAMA DE TENSÃO V,N,M

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  8. "A massa (m) de um corpo é a medida da quantidade de matéria nele existente"
    Esse conceito está errado. Massa se divide em inercial e gravitacional, ambas medidas em kg no SI. Quantidade de matéria é uma grandeza fundamental medida em mol e pertence as sete fundamentais do SI.

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  9. Tem um erro no exemplo 3 na hora de calcular as coordenadas do centro de gravidade MY/A; MX/A o valor de A calculado a partir da integral deu 18/3 e vocês colocaram 16/3.

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    Respostas
    1. Verdade. Foi um erro de digitação. Em breve farei a correção.

      Abraços.

      Excluir

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