25 de nov de 2011

O Grande Metrô das Ciências

O caminho da Ciência tem sido longo e sinuoso desde os gregos há cerca de 26 séculos, na época de Thales, passando por Pitágoras, Euclides, Galileu, Newton, Drawin e Einstein, entre outros. Foram inúmeras descobertas, perseguições, revoluções e tudo graças à dedicação de homens e mulheres que dedicaram suas vidas em prol do conhecimento científico.

Num artigo da revista Super Interessante em sua versão espanhola, trouxe um grande mapa científico, que podemos viajar como se estivéssemos num metrô, podendo ainda acompanhar algumas de suas principais contribuições.

image Clicando na imagem acima, pode-se ver o mapa completo em formato jpg. Para uma visualização ainda melhor, sugiro baixar o Mapa Científico em pdf.

Em seu blog, Crispian Jago fez uma versão interativa: O Mapa da Ciência Moderna. Passando o mouse sobre os nomes dos cientistas, ou clicando neles, obtemos mais informações sobre suas vidas e obras.

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Clique na imagem acima para redirecionar

O mapa inclui principalmente os cientistas modernos que fizeram avanços significativos para a nossa compreensão do mundo. Boa viagem!


Veja mais:

Alguma Etimologia
A Estrutura E8
A História do Símbolo do Infinito

22 de nov de 2011

Volume do Anel Esférico

O Cálculo infinitesimal tem diversas aplicações no campo da Geometria. Uma delas é a determinação do volume de sólidos de revolução. Neste post, vamos encontrar a fórmula para o volume do anel esférico.

Um Anel esférico é uma esfera com um furo. Mais precisamente, é uma esfera com um furo cilíndrico de modo que os centros da esfera e do cilindro se coincidem.

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Vejam que o anel esférico é uma esfera onde foi subtraído um cilindro e duas calotas esféricas.

Consideremos a figura abaixo onde tem-se um semicírculo de raio R e um retângulo inscrito de comprimento h e altura r.

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Se rotacionarmos o semicírculo em torno do eixo dos x, obteremos um sólido de revolução. Vejam que nosso problema se resume em determinar o volume gerado pela área sombreada.

Sabemos que a equação da circunferência centrada na origem é dada por:

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Desta equação, podemos obter uma outra em função de y:

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Se seccionarmos este sólido perpendicularmente ao eixo dos x obteremos cilindros de alturas infinitesimais. Assim, podemos subdividir estes cilindros em dois casos: o primeiro sendo pertencente à esfera; e o segundo pertencente ao furo (cilindro):

image Assim, temos que o volume do anel esférico é dado por:

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Vejam que através da fórmula dada em (6), conseguimos calcular o volume do anel esférico somente em função da altura h do cilindro (furo).


Veja mais:

Volume da Esfera
Volume de uma Calota Esférica
Volume de um Segmento Esférico

16 de nov de 2011

Alguma Etimologia

Muitos nomes e palavras usadas hoje em dia remontam ao período árabe. Assim, qualquer pessoa interessada em astronomia de observação provavelmente tem ciência de que um grande número de nomes de estrelas, em particular daquelas de brilho mais tênue, é árabe. Entre as estrelas de brilho mais intenso são exemplos bem conhecidos Alderabã, Vega e Rigel e entre as de brilho mais tênue Algol, Alcor e Mizar. Muitos dos nomes de estrelas eram originalmente expressões que indicavam sua localização nas respectivas constelações. Essas expressões descritivas, quando transcritas do catálogo de Ptolomeu para o árabe, acabaram se degenerando em palavras simples como Betelgeuse (axila da Principal), Formalhaut (boca de Peixe), Deneb (cauda de Pássaro), Rigel (perna do Gigante) e assim por diante.

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A origem da palavra Álgebra, como conhecemos hoje, deu-se a partir do título do tratado de al-Khowârizmî sobre o assunto, Hisâb al-jabr w’al-muqâ-balah, é muito interessante. Esse título foi traduzido literalmente como “ciência da reunião e da oposição” ou, mais livremente, como “ciência da transposição e do cancelamento”. O texto, que se preservou, tornou-se conhecido na Europa através de uma tradução latina e fez da palavra al-jabr ou álgebra sinônimo de ciência das equações. Obviamente desde a metade do século XiX o termo álgebra adquiriu um significado muito mais amplo.

A palavra árabe al-jabr veio a encontrar um significado não-matemático na Europa, através dos mouros da Espanha. Nesse país, quem consertava ossos fraturados chamava-se algebrista; e os barbeiros medievais dedicavam-se adicionalmente a essa tarefa, eles próprios chamavam a si mesmo de algebristas.

O livro de al-khowârizmî sobre o uso dos numerais hindus também introduziu em palavra no vocabulário da matemática. Não há cópias do original desse livro, mas em 1857 descobriu-se uma tradução latina que começa por “algoritmi disse...”. Nessa abertura o nome al-Khowârizmî transformou-se em Algoritimi que, por sua vez, deu origem à palavra algoritmo que significa “arte de calcular de uma maneira particular”.

Os significados dos nomes atuais das funções trigonométricas, com exceção do seno, são claros a partir de sua interpretação geométrica, quando se coloca o ângulo no centro de um círculo de raio unitário. Assim, na figura abaixo, se o raio do círculo é uma unidade, os valores de tg(θ) e sec(θ) são dados pelos comprimentos do segmento de tangente CD e pelo segmento de secante OD. Obviamente, co-tangente significa simplesmente “tangente do complemento” e assim por diante. As funções tangente, co-tangente, secante e co-secante foram conhecidas por vários outros nomes, surgindo esses particulares no máximo até o fim do século XVI.image A origem do nome seno é curiosa. Âryabhata usava ardhã-jyã (semicorda) e também jyã-ardhã(corda metade) e por brevidade escrevia apenas jyã (corda). Partindo de jyã os árabes foneticamente derivaram jîba que, devido à prática entre eles de se omitir as vogais, se escrevia jb. Afora seu significado técnico, hoje jîba é uma palavra que não tem sentido em árabe. Posteriormente, escritores que se depararam com jb como abreviação da palavra sem sentido jîba passaram a usar jaib que faz parte do vocabulário árabe e que significa “enseada” ou “baía”. Mais tarde ainda, ao fazer a tradução de jaib para o latim, Genardo de Cremona empregou o equivalente latino sinus, de onde vem nossa palavra atual seno.

As avaliações do papel dos árabes no desenvolvimento da matemática de maneira nenhuma são unânimes. Há aqueles que veem nos escritores muçulmanos, particularmente em seu trabalho em álgebra e geometria, grande originalidade. Outros assinalam que esses escritores, a despeito de talvez revelarem erudição raramente eram criativos e que seu trabalho se situa num plano secundário, quantitativa e qualitativamente, em relação aos gregos e aos escritores modernos. Por outro lado, deve-se admitir que eles deram pelo menos contribuições pequenas à ciência. Ocorre que suas realizações, quando vistas contra o pano de fundo cientificamente estéril do resto do mundo na época, assumiram dimensões maiores do que de fato tinham. Há ainda, no balanço a seu favor, o importante fato de que eles custodiaram de maneira admirável grande parte do patrimônio intelectual do mundo até que os europeus despertassem do marasmo da Baixa Idade Média.

Referências:

[1] Introdução à História da Matemática – Howard Eves


Veja mais:

Poema de Amor Matemático
Teorema de Pitágoras Segundo Euclides
A História das Equações Algébricas (Parte 1) no blog Fatos Matemáticos
A História das Equações Algébricas (Parte 2) no blog Fatos Matemáticos

12 de nov de 2011

Retificação da Circunferência (Parte 3) – Método de Gelder

image Em busca de uma solução para o problema da quadratura do círculo, muitas construções já foram dadas para obter um segmento de reta de comprimento aproximado a π.

Este método de retificação foi desenvolvido por Gelder, mas somente publicada em 1849, 1 ano após sua morte.

Jacob de Gelder (1765 – 1848) foi um matemático holandês que serviu de inspiração para uma nova compreensão da finalidade e aplicação da matemática no início do século XIX na Holanda.

Gelder iniciou sua carreira em 1790 em Rotterdam, como professor em Wiskunst. Suas primeiras publicações datam de 1791 e 1794. Foi muito influente sobre questões de educação e a matemática passou a ser parte obrigatória do currículo de cada curso com um apelo ao valor educativo.

Aposentou-se aos 75 anos e no mesmo ano de 1840, recebeu o prêmio de Cavaleiro da Ordem do Leão Holandês. Faleceu em 1848 após uma rápida doença.

Vamos ver como se dá a construção de Gelder para o problema da retificação e determinar uma aproximação para π com precisão de 6 casas decimais. O que é curioso neste método é que o segmento construído aproxima somente a parte decimal de π.

A Retificação:

Seja AB o diâmetro de uma circunferência de diâmetro igual a 1:

image Trace o segmento BC = 7/8 do diâmetro, perpendicular a AB em B:

image No prolongamento de AB, marque AD = AC. Para isso, descreva um arco de raio AC e centro em A:

image Trace DE = 1/2, perpendicular a AD em D.

image Trace o segmento AE e seja F o pé da perpendicular a AC por D:

image Una os pontos BF e trace uma paralela por E. Marque como G a intersecção com BD:

image O segmento BG é aproximadamente a parte decimal de π, com precisão até a sexta casa decimal.

Demonstração:

Nos triângulos GAE e BAF, temos os segmentos proporcionais:

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Como o triângulo ABC é retângulo em B, temos que:

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Mas AC = AD, logo:

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Substituímos (3) em (1):

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No entanto, AB = 1, DE = 1/2 e BC = 7/8. Substituímos estes valores na relação (4):

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Assim, obtemos o valor da parte decimal de π com 6 casas decimais corretas. Para o valor de π, somamos sua parte inteira:

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Para a construção geométrica, já temos o segmento BG = 0,1415929 e o segmento AB = 1. No prolongamento do segmento BA, fazemos dois arcos de raios igual a AB: um de centro em A marcando H e outro de centro em H marcando I. Assim, o segmento IG aproxima π.

Referências:

[1] Introdução à História da Matemática – Howard Eves

[2] http://bwnw.cwi-incubator.nl/


Veja mais:

Retificação da Circunferência (Parte 1)
Retificação da Circunferência (Parte 2) - Método de Kochanski
Uma Breve Cronologia de PI

9 de nov de 2011

A Bolsa de Valores e a Sequência de Fibonacci

As bolsas de valores são instituições, conhecidas como mercado financeiro, onde são negociados instrumentos financeiros. É por meio delas que investidores compram e vendem ações de companhias de capital aberto, formadas por sociedade anônima.Cada um dos investidores em ações de determinada companhia passa a deter os direitos e as obrigações referentes ao percentual correspondente ao valor das ações sob sua posse.

image [Figura 1 – Método das oito ondas]

Os preços das ações indicam o valor de mercado das empresas listadas na bolsa. A perspectiva dos investidores é obter o maior retorno sobre seu investimento, comprando ações por um determinado valor X, com a expectativa de que seu preço de venda Y seja superior ao valor pago no momento da aquisição (X < Y). Tal atividade implica fazer previsões sobre o mercado, com objetivo de auxiliar a tomada de decisões de compra e/ou venda das ações no momento lucrativo. Assim, a bolsa de valores é envolvida por intenso movimento de negociações pautado na flutuação (variação) do valor das empresas.

Neste sentido, o estudo do comportamento do mercado operado na bolsa de valores ganha fundamental importância para diminuir os riscos nos investimentos e identificar potenciais momentos para a realização de lucro ou prejuízo. Tais estudos são desenvolvidos por analistas especializados em mercado de ações.

Como exemplo, podemos citar os trabalhos de um dos pioneiros da análise financeira, o norte-americano Ralph Nelson Elliott (1876 – 1948).

Ao estudar o histórico das cotações para inferir sobre o comportamento futuro do mercado de ações da Bolsa de Valores de Nova York, no início do século passado, Elliott concluiu que as flutuações da bolsa não eram aleatórias. Ele reconheceu que a variação dos preços se comportava de modo cíclico, formando padrões que se repetem com uma mesma tendência.

Segundo a teoria desenvolvida por Elliott, um ciclo padrão de tendência de mercado graficamente é formado por oito ondas bem definidas, e cada uma delas é formada por grupos menores de ondas que reproduzem o mesmo padrão.

image [Figura 2 – Modelo de repetição do padrão por onda]

A quinta onda finaliza um período de otimismo, identificado pelas ondas numeradas de 1 a 5 na figura 1. Nesse período, as pequenas baixas são superadas por significativas altas no preço das ações. Porém a partir desse momento tem início um período de significativas quedas no preço das ações, identificado por três ondas, sinalizadas nos gráficos pelas letras A, B e C.

Além do padrão gráfico, Elliott investigou uma “medida” para o ciclo de repetição das ondas, recorrendo à Matemática. Como resultado, ele conseguiu encontrar relações entre o comportamento do mercado e a sequência de número de Fibonacci.

De uma forma geral, a Teoria das Ondas de Elliott diz que a Razão entre um pico (alta de preços) e um vale (queda dos preços) do gráfico tende a ter um valor aproximadamente igual à razão entre dois números sucessivos da sequência de Fibonacci: (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...).

image [Figura 3 – Sequência de Fibonacci relacionada por Elliott]

Nessa sequência a razão entre um número e o seu antecessor, a partir do quinto termo (Elliott relaciona esse fato às cinco ondas), é um valor próximo a 1,618, que é o número de ouro:

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No mercado de ações, a Teoria de Elliott tem sido discutida e aplicada por alguns analistas técnicos da área, utilizando métodos computacionais para orientar investidores a tomar decisões, ao inferir “em que fases das ondas” o mercado atual está situado e qual a tendência futura. Existem várias teorias de análise técnica. No entanto, praticamente todas partem de um fato indiscutível: o comportamento do mercado financeiro é cíclico e segue uma tendência de padrões entre as baixas e as altas dos preços das ações.

Referências:

[1] Matemática Ensino Médio V1 – Kátia Smole e Maria Ignez Diniz


Veja mais:

Regressão Polinomial
A Fórmula que Destruiu Wall Street
A História do Símbolo do Infinito

5 de nov de 2011

Logaritmos: Os Sons e a Audição Humana

Uma pessoa com audição normal é capaz de ouvir uma grande faixa de sons de intensidade bem diferentes.

O som pode ser classificado como fraco ou forte quanto a sua intensidade, que é representado por I.

No S.I., a intensidade I é expressa em W/m2 (watts por metro quadrado).

Existe um valor mínimo de intensidade de som, abaixo da qual é impossível ouvir algo. A essa intensidade damos o nome de limiar de audibilidade, que vale em média, 10–12 W/m2. Com base nos valores de intensidade de som, podemos definir o nível de intensidade (β) medindo em decibels (dB):

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Onde:

I é a intensidade correspondente ao nível β;

I0 é uma constante que representa o nível de referência tomado como limiar de audição:

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Por exemplo, para calcularmos a intensidade correspondente a um nível de 40 dB, fazemos:

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Do mesmo modo, se tivermos a intensidade sonora é possível encontrarmos os respectivos decibels (níveis de intensidade).

Como forma de ilustrar, os metrôs antigos, estima-se que a intensidade sonora seja de 10–2 W/m2. O nível de intensidade é:

clip_image002[4]

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Um outro exemplo é a intensidade da onda correspondente à fala humana, a um metro de distância, é 4 · 10–6 W/m2. A quantidade de decibels é:

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Como clip_image028, temos:

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De acordo com a Organização Mundial de Saúde (OMS), sons de até 55 dB são aceitáveis. Vejam abaixo uma tabela com níveis de intensidade de alguns tipos de som:

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Referências:

[1] Matemática, Ciência e Aplicações V1 – Gelson Iezzi e Osvaldo Dolce

[2] Matemática Ensino Médio V1 – Katia Smole e Maria Ignez Diniz


Veja mais:

A Construção da Primeira Tábua de Logaritmos Decimais por Briggs
Stifel, Bürgi e a Criação dos Logaritmos
Os Logaritmos Segundo Napier
Utilizando Tábuas para Calcular Logaritmos

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