26 de out de 2011

Construção Geométrica da Elipse com Régua e Compasso (Parte 2)

A primeira construção da elipse que fizemos foi a partir do eixo maior contendo seus focos. Para esta construção, vamos partir da premissa que temos seus dois eixos.

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Descrevemos dois círculos de centro em O com diâmetros iguais aos eixos AA' e BB':

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Dividimos a circunferência maior e a menor em N partes iguais. Por conveniência, vamos dividi-las em 16 partes iguais, pois para isso só precisamos determinar as bissetrizes entre os eixos e depois repetir o processo.

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Em seguida, tracemos retas perpendiculares ao eixo AA' pelos pontos que dividem a circunferência maior:

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Depois, tracemos retas perpendiculares ao eixo BB' pelos pontos que dividem a circunferência menor:

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Os pontos (xn, yn) gerados a partir das intersecções destas retas determinam a elipse.

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Veja mais:

Construção Geométrica da Elipse com Régua e Compasso (Parte 1)
Construção Geométrica da Parábola com Régua e Compasso
Construção Geométrica da Hipérbole com Régua e Compasso

20 de out de 2011

Teorema do Ângulo Inscrito

Um ângulo é considerado inscrito em uma circunferência quando seu vértice pertence a ela e os seus lados sejam, cada um deles, uma corda.

Teorema: Numa circunferência, a medida do ângulo central é igual ao dobro da medida do ângulo inscrito que subtende o mesmo arco.

Assim, pode haver três casos distintos:

i) O centro O da circunferência pertence a uma das cordas. Neste caso, a corda é o próprio diâmetro da circunferência;

ii) O centro O da circunferência está dentro do ângulo inscrito;

iii) O centro O da circunferência está fora do ângulo inscrito.

image Vamos demonstrar cada um dos casos separadamente.

1) O centro O da circunferência pertence a uma das cordas

image Vejam que os segmentos OB e OC possuem a mesma medida, pois são iguais ao raio da circunferência. Desta forma, o triângulo OBC é isóscele, cuja base BC compreende ângulos iguais a θ.

O segmento AB é o diâmetro da circunferência e podemos chamar como α o ângulo complementar de β, que é o ângulo central:

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Como para todo triângulo a soma dos ângulos internos é sempre igual a 180°, temos:

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E assim fica provado o primeiro caso.

2) O centro O da circunferência está dentro do ângulo inscrito

image Podemos traçar o diâmetro BD da circunferência, dividindo os ângulos, central e inscrito, em duas partes iguais, obtendo:

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E desta forma, caímos ao primeiro caso, onde o centro da circunferência pertence a uma das cordas. Utilizando o mesmo raciocínio, obtemos:

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E o mesmo vale para o outro ramo:

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No entanto, temos pela relação (3) que:

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Substituindo as relações (4) e (5), obtemos:

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Substituindo a relação (2) na relação acima obtemos:

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E assim provamos o segundo caso.

3) O centro O da circunferência está fora do ângulo inscrito

imagePodemos traçar o diâmetro BD da circunferência definindo outros dois ângulos: β1 e θ1:

image Assim, podemos chamar como α o ângulo complementar do ângulo β + β1, que é o ângulo central:

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E desta forma, caímos ao primeiro caso, onde o centro da circunferência pertence a uma das cordas. Utilizando o mesmo raciocínio, obtemos:

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Se aplicarmos o mesmo conceito no ângulo DBA, obtemos:

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Substituindo a relação (8) em (7), obtemos:

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E assim provamos o terceiro e último caso.


Veja mais:

O Teorema de Pitágoras, Segundo Euclides - A Proposição I-47
O Teorema da Base Média de um Triângulo
O Teorema da Base Média de um Triângulo Resolvido pelas Propriedades dos Vetores

15 de out de 2011

Teorema da Base Média de um Triângulo Resolvido pelas Propriedades dos Vetores

Um importante Teorema da Geometria Plana é o Teorema da Base Média de um Triângulo. Já demonstramos aqui utilizando a Geometria Analítica. Neste post, vamos demonstrar este teorema utilizando as propriedades dos vetores.

Teorema: O Segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado, e sua medida é igual à metade da medida do terceiro lado.

Seja o triângulo definido pelos pontos A, B e C, não colineares. Sejam os pontos M e N os pontos médios relativos aos lados AC e BC, respectivamente.

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Por hipótese, temos que:

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Pela álgebra vetorial temos:

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Assim, podemos substituir as relações (3) e (4) na relação (5):

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Substituindo (6) em (7), fica demonstrado que:

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Veja mais:

Teorema da base Média de um Triângulo
Demonstração dos ângulos Notáveis
Pontos Notáveis de um Triângulo
A Mediana de um Triângulo no blog Fatos Matemáticos

12 de out de 2011

A Matemática da Câmera Fotográfica

As primeiras câmeras fotográficas têm origem no século XVI, nas chamadas câmeras escuras. Mas apenas em 1745 foi acoplada a elas uma lente, melhorando muito a qualidade das imagens formadas. Passaram-se 100 anos até a produção das primeiras imagens gravadas em papel: as fotografias.

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A figura acima mostra a Câmera Mamute, criada em 1900 pelo fotógrafo George Raymond Lawrence, a pedido da Chicago & Alton Railway, para fotografar aquele que era considerado o trem mais lindo do mundo:

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[Clique na imagem para ampliar]

Ao longo do século XX, a tecnologia das câmeras fotográficas foi sendo aperfeiçoada e popularizada, tornando-se um dispositivo óptico bastante comum. Analógicas ou digitais, pequenas ou grandes, profissionais ou acopladas a celulares, as máquinas fotográficas fazem parte do dia a dia das pessoas para registrar momentos de nossas vidas.

Como dispositivo óptico, basicamente a máquina fotográfica é constituída de um compartimento hermeticamente fechada (uma caixa escura na superfície interna); de uma lente (objetiva), que será atravessada pelos raios de luz provenientes do objeto a ser fotografado; de uma película fotográfica sensível à luz (nas máquinas analógicas), ou de um chip (nas máquinas digitais); e de um diafragma combinado a um obturador, dispositivo mecânico que abre e fecha o orifício que contém a lente, permitindo a exposição à luz por tempo controlado.

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A imagem no filme fotográfico é sempre invertida e reduzida. A relação entre o tamanho ho do objeto e hi da imagem é chamada de ampliação transversal da imagem (A) e pode ser determinada matematicamente analisando-se a figura abaixo, onde estão destacados apenas a lente, o objeto fotografado, a imagem e os raios luminosos (1, 2 e 3), para representar o feixe de luz que atravessa a lente para a formação da imagem.

image Observando os triângulos OPC e QIC, podemos determinar os valores das tangentes de θ1:

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Igualando as duas equações, obtemos:

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Ou seja, a transversal A = hi / ho é igual à razão entre as distâncias do objeto à lente e da lente ao filme fotográfico ou chip.

Uma outra relação interessante é aquela conhecida como equação das lentes. Essa equação é importante para a determinação da nitidez da imagem, pois ela indica o foco.

Na figura anterior, analisando os triângulos ACF e QIF, podemos determinar as tangentes do ângulo θ2:

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Igualando as duas equações, obtemos:

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Substituindo a relação (1) em (2), obtemos:

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Dividindo toda a equação por q, obtemos:

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Que é a equação dos focos conjugados, análogo aos espelhos esféricos, aplicada para determinar a abscissa do objeto ou da imagem, bem como a distância focal das lentes.

Essas equações esclarecem que a nitidez da foto depende da distância do objeto e também da posição do filme que será impressa a imagem em relação à lente. À medida que um objeto se aproxima da máquina fotográfica, diminuindo a distância (p), a distância entre a lente e a imagem (q) aumenta, ou seja, a lente se afasta da película fotográfica ou chip. Para objetos distantes da câmera, a lente estará posicionada próxima do filme, diminuindo a distância (q), enquanto para objetos mais próximos, a lente ficará mais afastada do filme fotográfico ou chip, aumentando a distância (q). Assim, a distância focal é que determina fatores como a profundidade e o ângulo de visão da lente (objetiva).

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Na imagem acima, o autor da foto teve como objetivo destacar o girassol. Vejam que o fundo fica totalmente desfocado, toda a atenção fica voltada para a flor.

Nas máquinas fotográficas sem foco automático, a lente focaliza corretamente apenas os objetos que estiverem exatamente na distância (p), predeterminada pela distância focal da lente. Os demais elementos da fotografia não ficam nítidos. Já nas máquinas fotográficas com foco automático, há dois sistemas de funcionamento: nas câmeras tipo reflex, ao apertar levemente o botão disparador, um pequeno feixe de luz atravessa a lente e atinge um sensor que envia as informações para um microprocessador dentro da máquina, calculando a distância e ajustando o foco automaticamente por meio de um pequeno motor que regula a lente na posição adequada. O segundo sistema é usado em máquinas fotográficas compactas e automáticas: na parte frontal do equipamento, há um dispositivo que emite raios de luz infravermelhos, incidindo sobre o objeto e retornam (refletem) para um sensor localizado logo abaixo do emissor infravermelho. Com base nos reflexos, a máquina calcula a distância do objeto e ajusta o foco.

Referências:

[1] Matemática Ensino Médio V1 – Stocco Smole e Diniz
[2] Física V2 – Termologia, Óptica e Ondulatória – Paraná
[3] http://obviousmag.org/archives/2010/01/camera_mamute.html


Veja mais:

Prismas Ópticos
O Índice NDVI
Como Obter uma Medida Confiável

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