31 de ago de 2011

Regra de 1/3 de Simpson Repetida

Seja o Polinômio de grau 2 que interpola f (x) nos pontos:

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Das relações acima, podemos obter outras que serão úteis no desenvolvimento deste estudo:

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Podemos utilizar o polinômio de Lagrange para estabelecer a fórmula de integração resultante da aproximação de f (x) por um polinômio P2(x):

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Relembrando que o polinômio de Lagrange de grau 2 é dado por:

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Assim, temos:

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Substituindo as relações de (4) a (9) na integral acima, obtemos:

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Para resolvermos as integrais, fazemos uma mudança de variáveis conveniente, de modo que:

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Assim, para:

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Desta forma, as integrais acima ficam:

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A relação (19) é a fórmula de 1/3 de Simpson. Mas para determinadas funções, cometemos um erro ao aproximar f (x) por um polinômio P2(x):

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A fim de contornar este problema, podemos aplicar a regra de Simpson repetida vezes no intervalo [a , b] = [x0 , xm]. Suponha que x0, x1, ... , xm são pontos igualmente espaçados, onde:

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Uma condição necessária é que m seja para, pois cada parábola utiliza três pontos consecutivos e para cada par de intervalo, temos:

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Então:

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Assim, a fórmula de 1/3 de Simpson Repetida fica:

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Exemplo: Calcular uma aproximação para a função abaixo utilizando a regra de 1/3 de Simpson repetida. Considere m = 10:

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Desta forma, teremos:

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Assim:

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Se a integral definida na função, obteremos:

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Comparando os resultados de (20) e (21), vemos que o erro aparece na sexta casa decimal. Se quisermos ter uma aproximação ainda melhor, basta aumentarmos o valor de m o quanto desejarmos.


Referências

[1] Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais - Márcia Ruggiero
[2] Notas de Aula


Veja mais:

O Cálculo Integral
Regra dos Trapézios Repetida
Zeros Reais de Funções Reais - O Método de Newton – Raphson

20 de ago de 2011

Arte Cinética – A Dança das Esferas

Neste vídeo produzido pela Harvard Natural Sciences Lecture Demonstrations, mostra 15 pêndulos independentes, de comprimentos diferentes que produz um efeito visual impressionante: ondas viajantes, ondas estacionárias e movimentos aleatórios. Podemos chamá-la de arte cinética.

O período de um ciclo completo é de 60 segundos. O comprimento do pêndulo maior foi ajustado de modo a executar 51 oscilações por minuto. Conforme o comprimento dos pêndulos vão diminuindo, são adicionados 1 oscilação, de modo que o de comprimento menor sofre 65 oscilações por minuto. Quando todos os 15 pêndulos são iniciados simultaneamente, rapidamente perdem a sincronia devido aos seus diferentes períodos de oscilação. No entanto, após 60 segundos todos os pêndulos voltam a sincronizar, iniciando novamente a dança das esferas.



Veja mais:

O Pêndulo de Foucault
O Movimento de Precessão da Terra
Movimento Harmônico Simples no blog Fatos Matemáticos

15 de ago de 2011

Princípio de Indução Completa ou Raciocínio por Recorrência

Se uma propriedade é verdadeira para o número $1$ e conseguimos demonstrar que é verdadeira para $n$ sempre que for verdadeira para $n-1$ então ela será verdadeira para todos os números naturais.Vamos demonstrar que a soma dos $n$ primeiros naturais é:
$$S_n=1+2+3+\cdots +n=\frac{n\left ( n+1 \right )}{2}$$A fórmula é verdadeira para $n=1$, pois $S_1=1$. Suponhamos que a fórmula seja verdadeira para os  $n-1$ primeiros números. Assim, pela hipótese da indução:
$$S_{n-1}=\frac{\left ( n-1 \right ) \left ( n-1+1 \right )}{2}=\frac{\left ( n-1 \right )n}{2}$$Mas como: 
$$S_n=S_{n-1}+n$$ 
Logo:
$$S_n=\frac{\left ( n-1 \right )n}{2}+n$$
$$S_n=\frac{n^2-n+2n}{2}=\frac{n^2+n}{2}=\frac{n\left ( n+1 \right )}{2}$$
Assim, a proposição fica demonstrada para todo $n$. Para Poincaré, esse é o raciocínio matemático por excelência.

Referências:

[1] Gênios da Ciência Vol. 12 – A Vanguarda da Matemática e os Limites da Razão


Veja mais:

A Aritmética de Peano
Bertrand Russel e o Logicismo
Dirichlet e os Números Primos de uma Progressão Aritmética


12 de ago de 2011

Como Dividir um Ângulo em Três Partes Iguais com Régua e Compasso

Sabemos que a trissecção do ângulo é um dos três problemas clássicos da Geometria onde não é possível sua construção utilizando ferramentas euclidianas, ou seja, utilizando régua não-graduada e compasso.

A saber, os três problemas clássicos da Geometria são: a trissecção do ângulo, a quadratura do círculo e a duplicação do cubo.

No entanto, podemos determinar aproximações razoáveis que dependendo da utilização, o erro não nos afetará. A aproximação da trissecção do ângulo é relativamente simples e requer poucos segundos para sua construção.

Para iniciarmos, construa uma circunferência de centro O:

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Em seguida, trace uma reta que passe pelo centro O e uma segunda reta que também passe pelo centro O, marcando os pontos A e B com a intersecção com a circunferência. Desta forma, definimos o ângulo AOB, que queremos trissectar:

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Trace a bissetriz do ângulo AOB marcando como E a intersecção com a circunferência:

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Com raio OE e centro em E, descreva um arco interceptando o prolongamento da bissetriz OE em F:

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Agora, trace as retas FC e FD e marque as intersecções com a circunferência como G e H:

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Os pontos G e H dividem o arco AB em três partes aproximadamente iguais. Trace as retas OG e OH, definindo os ângulos:

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Encontraremos, então, o ângulo AOB dividido em três partes “iguais”: AOH, HOG e GOB, com boa aproximação:

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Mas é somente uma aproximação. Se tomarmos o ângulo AOB = 60°, então cada ângulo formado seria de 20°. Com o auxílio de um software gráfico, construímos um ângulo de 60° trissectado corretamente:

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As retas na cor preta são as mesmas retas construídas por aproximação. As retas em vermelho são as retas que dividem o ângulo corretamente em 20°. Ampliando o ponto H, podemos ver que realmente há a diferença:

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O valor do ângulo construído mede aproximadamente 19,795°. Não é exato, mas fica bem próximo. Desta forma, o ângulo central HOG é ligeiramente maior que os outros dois.


Veja mais:

Construção Geométrica de Tangentes com Régua e Compasso
Construção Geométrica de um Heptadecágono Regular com Régua e Compasso
Os Três Problemas Famosos da Geometria Grega no blog Fatos Matemáticos


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