27 de jun de 2011

Construção Geométrica de uma Elipse com Régua e Compasso (Parte 1)

Primeiramente, trace o eixo maior, cujas extremidades são os vértices A e A’, marcando os focos F e F’ e o centro O.

image A partir de F e F’, trace arcos de tamanhos iguais marcando os pontos 1, 2, 3 e 4 e 1’,2’,3’ e 4’.

imageAgora, com a ponta seca do compasso em F e raios A1’, A2’, A3’ e A4’ e depois com centro em F’ e arcos A’1, A’2, A’3 e A’4, trace arcos.

image Com centro em F e raios A1, A2, A3 e A4 e depois com centro em F’ e raios A’1, A’2, A’3 e A’4, trace arcos de modo a interceptarem os primeiros.

image A curva que passa pelas intersecções e pelos vértices A e A’ é a elipse de centro O e focos F e F’. O segmento de reta ortogonal ao eixo AA’ que passa pelo centro O, é o eixo menor, cujas extremidades são as intersecções com a elipse formando seus vértices B e B’.

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Veja mais:

A Equação da Elipse
Construção Geométrica da Elipse com Régua e Compasso (Parte 2)
Construção Geométrica da Parábola com Régua e Compasso
Construção Geométrica da Hipérbole com Régua e Compasso

26 de jun de 2011

O Pêndulo de Foucault

clip_image002Jean Bernard Léon Foucault nasceu no dia 18 de setembro de 1819. Recebeu educação básica em sua própria casa, estudou medicina, mas abandonou-a para dedicar-se à Física.

Em 1840, Foucault contribuiu para o periódico francês Comptes Rendus, descrevendo um regulador eletromagnético para o arco de lâmpada elétrico.

Em 1850, utilizou um eletroscópio para demonstrar a velocidade da luz no ar e na água, comprovando que a velocidade da luz no meio é inversamente proporcional ao seu índice de refração.

A velocidade da luz no vácuo é uma importante constante física representada pela letra c e seu valor no SI é de exatamente 299.792.458 metros por segundo.

Em 1851, comprovou experimentalmente o movimento de rotação da Terra em torno de seu próprio eixo, utilizando-se da oscilação de um longo e pesado pêndulo suspenso no Panthéon, em Paris.

No ano seguinte inventou e construiu o primeiro giroscópio para auxiliar na comprovação de seus experimentos sobre a rotação da Terra.

Em 1857 inventou o polarizador, o qual leva seu nome. Já no ano seguinte desenvolveu um método para dar ao espelho refletor do telescópio, a forma esférica e parabólica para determinar em 1862 a velocidade da luz em 298.000.000 m / s.

Neste mesmo ano, Foucault foi nomeado membro do Bureau dês Longitudes e membro oficial honorário da Legião da Honra (Legion of Honour). Em 1864 foi nomeado membro estrangeiro da Sociedade Real de Londres e no ano seguinte tornou-se membro da seção mecânica do instituto. Em 1865 intensificou seus estudo afim de modificar o regulador de Watt para a criação de um novo equipamento que regulasse a luz elétrica.

Em 11 de fevereiro de 1868 faleceu vítima de uma esclerose múltipla rapidamente desenvolvida. Seu corpo foi cremado e sua cripta encontra-se no Cemetière de Montmarte, em Paris.

O Pêndulo de Foucault

Até o ano de 1851, todas as informações a respeito do movimento de rotação da Terra eram obtida através de observações astronômicas, sobre o movimento das estrelas. Uma explicação antiga era que as estrelas estariam “presas” a um esfera que gira sobre a Terra, mas a aceitação de que a Terra não era o centro do universo derrubava esta hipótese.

O experimento de Foucault consiste em uma das maneiras mais simples e elegantes de se provar a rotação da Terra, que até hoje é admirada por sua simplicidade na forma de integração entre o ser humano e a natureza, sendo considerada por muitos físicos como um dos dez mais belos experimentos científicos.

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O pêndulo de Foucault consiste em um dispositivo composto por uma massa m suspensa por um fio l, onde seu ponto de apoio é livre para girar.

A princípio, a expectativa era que o pêndulo oscilasse em um movimento retilíneo em um único plano vertical. No entanto, o que foi observado é que a oscilação do pêndulo parecia girar com o tempo, mudando sua direção em relação a esse plano considerado.

Quando o pêndulo é colocado em movimento, pelas Leis de Newton, sua oscilação depende somente da força gravitacional, da tração do fio e da resistência do ar, que faz diminuir a amplitude das oscilações com o passar do tempo. Nenhuma outra força age para explicar a mudança de direção da oscilação do pêndulo. Em Paris, a rotação é medida em cerca de 10° por hora, no sentido horário.

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Mas, se não há nenhuma força atuando no pêndulo para que mude a direção da oscilação, por que o pêndulo gira? Na verdade, o pêndulo não gira. É o plano contido pela Terra que está girando! O plano de oscilação do pêndulo permanece constante. Nós, os observadores, temos a impressão de que o pêndulo gira, por que estamos “presos” à Terra.

Para expor sua descoberta, Foucault fez uma apresentação em público, já que descobertas científicas eram de interesse da população como uma atração. Foucault suspendeu na cúpula do Panthéon uma das extremidades de um fio com cerca de 70 metros de comprimento e na outra extremidade colocou uma massa esférica de 30kg. Em repouso, esse sistema ficava posicionado no centro de uma circunferência com 6m de diâmetro, na qual cada grau foi dividido em quatro partes. Após sucessivas oscilações, observou-se que o pêndulo movimentava-se no sentido horário, mudando seu plano de oscilação em cerca de 11°15’ por hora, realizando uma volta em 32 horas. Aplicando as proporções, obtemos:

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Foucault comprovou que o tempo gasto para completar uma volta dependia da latitude do local da experiência. Um pêndulo situado no Polo Norte daria uma volta completa em exatamente 24 horas no sentido horário; já para um pêndulo situado no Polo Sul, uma volta completa se daria também em 24 horas, mas no sentido anti-horário. Já para um pêndulo localizado na linha do Equador, o tempo gasto para completar uma volta seria infinito, ou seja, o pêndula não giraria, mantendo sua trajetória retilínea.

Podemos fazer uma representação matemática da experiência realizada por Foucault, onde θ é a latitude do local em que o experimento foi realizado, R é o raio da Terra e r é o raio da oscilação do pêndulo no plano:

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O período t para o pêndulo realizar uma volta completa em torno de seu eixo de rotação é dado pela razão entre o comprimento da circunferência descrita pelo pêndulo no plano igual a 2π e a variação da velocidade, ou seja:

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onde ω é a velocidade angular da Terra. Desta forma, temos que:

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Nos polos, θ = 90°, e o período de giro completo no plano em que se encontra o pêndulo será de 24 horas, Na linha do Equador, θ = 0°, comprovando matematicamente o que um observador poderá concluir ao fazer o experimento neste local, que o tempo será infinito.

Vejam alguns vídeos que mostram o pêndulo de Foucault em movimento:

Vídeo 1 | Vídeo 2 | Vídeo 3 | Vídeo 4


Referências:

[1] Matemática V.2 – Stocco Smole e Diniz
[2] http://www.wendelsantos.com
[3] Pêndulo de Foucault, 2007 – Olegário, Danzi, et al


Veja mais:

As Velocidades da Terra
O Movimento de Precessão da Terra
Velocidade Angular
Um Modo Diferente de Medir a Aceleração da Gravidade no blog Fatos Matemáticos

25 de jun de 2011

Teorema da Base Média de um Triângulo

Neste artigo, vamos utilizar a Geometria Analítica para demonstrar uma importante propriedade da Geometria Plana.

Teorema: O Segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado, e sua medida é igual à metade da medida do terceiro lado.

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Seja o triângulo ABC acima, cujas coordenadas são dadas por:

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Sejam M e N os pontos médios respectivos dos lados AB e AC.

Vamos mostrar que:

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O coeficiente angular da reta que passa por BC pode ser calculado por:

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Como M é o ponto médio de AB, temos que:

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Para o ponto N, que é o ponto médio de AC, temos que:

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O coeficiente angular da reta que passa por MN é dado por:

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Como as relações (1) e (2) são iguais, temos que os coeficientes angulares das retas que passam por MN e BC são iguais, logo essas retas são paralelas.

A distância entre os pontos B e C é dada por:

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E a distância entre os pontos M e N é dada por:

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Desta forma, fica demonstrado que:

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Veja mais:

Pontos Notáveis de um Triângulo
O Teorema de Pitágoras Segundo Euclides
Teorema da Base Média de um Triângulo Resolvido pelas Propriedades dos Vetores

23 de jun de 2011

Como Obter uma Medida Confiável

Medida confiável é sempre duvidosa, desde que não empreguemos ferramentas necessárias para sua medição. Às vezes não basta um bom instrumento de medição e neste caso a Matemática pode nos ajudar.

A necessidade de fazer medições faz parte de nosso dia a dia desde a mais tenra idade. Quando um bebê joga a bola para a mãe, ele faz uma estimativa visual da distância e direção do seu arremesso. Esse processo é intuitivo, não científico, e não envolve a comunicação de uma medida.

O relógio, a fita métrica, o termômetro e a balança são instrumentos de medição que fazem parte de nosso cotidiano.

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Quando a medição exige maior exatidão, procuramos utilizar um instrumento e uma medida padrão: torna-se necessário o uso de algum rigoroso método em que se considere o erro de medição.

Nas pesquisas científicas, a medição é um processo que envolve ações experimentais para determinar os valores associados a uma ou várias grandezas. No entanto, por mais que se tenham cuidados e critérios nos procedimentos adotados para fazer uma aferição, o resultado nunca é considerado exato: ele é sempre avaliado como o valor mas provável da grandeza aferida.

De fato, toda medida é passível de erro. Embora a meta seja não errar, o pesquisador nunca estará certo de que nenhum tipo de erro tenha sido cometido. Os erros podem ser provocados por diversos fatores, por mais competente que seja o pesquisador e por melhor que seja o instrumento de medição por ele adotado.

Vamos utilizar o exemplo a seguir para ilustrar a incerteza de uma medição: Ao medir um lápis com uma régua graduada em centímetros, não se tem a certeza do valor em milímetros; e se usar uma régua graduada em milímetros, a incerteza será em relação ao valor em milésimo de milímetro!

image Observando a figura acima, vemos que a medida é um valor entre 8,2 cm e 8,3 cm. Mesmo que seja ampliada a ponta do lápis, ainda permanece a incerteza: o lápis mede 8,24 cm, 8, 25 cm ou 8,26 cm? O centésimo, nesse caso é sempre um valor duvidoso.

image Se, além disso, em determinado momento o experimentador observa a medida, posicionado a certo ângulo de visão do objeto que está medindo, por exemplo, e instantes depois faz uma nova observação sob um ângulo diferente, a estimativa feita na segunda situação poderá ser diferente da primeira.

Como regra para a escrita do valor encontrado para uma medida, sempre se colocam todos os algarismos de que se tem certeza, mais um algarismo duvidoso. Retomando a medida do lápis, os algarismos 8 e 2 são garantidos, porém o algarismo do centésimo e duvidoso. Ao escrever esta medida, não seria correto colocar 8,2 cm (o algarismo duvidoso seria o 2) ou 8,241 cm (o algarismo duvidoso seria o 1).

Para aumentar a confiabilidade do valor estimado, uma medição é repetida por diversas vezes, sob as mesmas condições, registrando-se em forma de tabela ou gráficos todos os valores obtidos.

O valor mais provável será dado pela média aritmética de todos os valores obtidos. Definimos clip_image008 como média aritmética:

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Por ser um valor provável, e não real, é preciso considerar a variação que ele pode ter, ou seja, conhecer os desvios de medição. Para isso, um procedimento comum no tratamento matemático das medidas é calcular a média dos módulos de todos os desvios da medida, denominado por desvio absoluto médio:

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O registro da medida será dado por:

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Vamos utilizar novamente o exemplo do lápis, considerando apenas cinco medições:

image Calculando o valor médio:

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Agora, calculamos o desvio absoluto médio:

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Podemos arredondar este valor para duas casas decimais obtendo:

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Então, a forma de escrita da medida do lápis se completa:

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O significado desse resultado é: o valor mais provável da série de cinco medições do tamanho do lápis é 8,24 cm podendo haver variações no intervalo de 8,22 cm a 8,26 cm.


Veja mais:

Regressão Linear
Regressão Polinomial
As 7 Unidades de Base do S.I.

21 de jun de 2011

Definição de Notação Científica

Dizemos que um número está escrito em notação científica quando escrevemos um número entre $1$ (inclusive) e $10$ (exclusive), multiplicando por uma potência de $10$. Em outras palavras, quando escrevemos $a \times 10^n$, em que $1 \leq a < 10$ e $n$ é um número inteiro. Usamos a notação científica para expressar números muito grandes ou muito pequenos.

Como exemplo, podemos expressar a distância entre a Terra e o Sol, que é cerca de $150$ milhões de quilômetros ou $1$ Unidade Astronômica (UA), como:
\begin{equation*}
\text{Distância Média Terra-Sol} = 1,496 \times 10^{11} m
\end{equation*}
Ou mesmo a Força Gravitacional, introduzida por Newton, que é de:
\begin{equation*}
G = 6,7 \times 10^{-11} \frac{Nm^2}{kg^2}
\end{equation*}
Veja abaixo a tabela com as notações científicas e seus respectivos significados:



Alguns exemplos:



Veja mais:

A Lei da Gravitação Universal e o Campo Gravitacional
Medidas de Tempos Muito Longos
Técnica de Datação por Carbono 14

10 de jun de 2011

Matrizes e o Controle de Tráfego

Neste post, vamos observar um exemplo de como as matrizes podem servir de modelos para descrever situações de nosso dia a dia.

A figura abaixo representa um cruzamento de duas ruas de mão dupla, cujo fluxo de automóveis nos pontos A, B e C é definido por três conjuntos de semáforos.

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As matrizes M1, M2 e M3 indicam o tempo, em minutos, durante o qual os semáforos se mantêm simultaneamente abertos segundo a sequência dada:

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Inicialmente, durante 1 minuto, ficam verdes os semáforos de A para B, de A para C e de B para A.

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Em seguida, durante meio minuto, ficam verdes os semáforos de B para A, de B para C e de C para B.

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E, finalmente, durante meio minuto, ficam verdes os semáforos de C para A, de C para B e de A para C.

A matriz M é obtida somando-se M1, M2 e M3 termo a termo e mostra o tempo que cada semáforo fica aberto em cada sentido no período de 2 minutos.

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Podemos observar, por exemplo, que o semáforo de B para A fica aberto durante 1 minuto e meio a cada período de 2 minutos.

Se multiplicarmos todos os termos da matriz M por 30, já que o período é de 2 minutos, obteremos o tempo, em minutos, que cada semáforo fica aberto durante 1 hora.

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Neste exemplo hipotético, sabe-se que nestas ruas é possível passar até 20 carros por minuto cada vez que os semáforos abrem. Assim, se multiplicarmos por 20 todos os termos da matriz N, teremos a quantidade máxima de carros que podem passar por este cruzamento no período de 1 hora.

clip_image016

Se o número de carros em alguma das direções for maior que a quantidade máxima possível, teremos um engarrafamento, que poderá ou não ser resolvido alterando-se os tempos de abertura dos semáforos, isto é, modificando-se os valores das matrizes M1, M2 e M3.

Referências

[1] Matemática Ensino Médio V1 – Stocco Smole e Diniz


Veja mais:

Matrizes de Rotação no R2
Cayley e a Teoria das Matrizes
O Método de Castilho para Resolução de Sistemas Lineares

7 de jun de 2011

Construção Geométrica da Parábola com Régua e Compasso

Considere em um plano uma reta $d$ e um ponto $F$ não pertencente à $d$. A parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano que estão equidistantes a $d$ e a $F$.
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Temos que:

$\bullet$ O ponto $F$ é o foco da parábola;

$\bullet$ A reta $d$ é a diretriz;

$\bullet$ O eixo é a reta que passa por $F$ e é perpendicular à diretriz;

$\bullet$ O vértice é a intersecção da parábola com seu eixo e é denominada por $V$.

Vejam que para uma curva ser uma parábola, a distância $PF$ deve ser igual à distância $PP^\prime$:
\begin{equation}
d(PF)=d(PP^\prime)
\end{equation}
Ou também:
\begin{equation}
\mid \overrightarrow{PF} \mid = \mid \overrightarrow{PP^\prime} \mid
\end{equation}
Observem que se a distância $AF$ vai diminuindo, a curva tende a uma reta. Desta forma, se $F = A$, a curva se degenera numa reta.

Seguindo a definição, podemos construir uma parábola utilizando apenas régua e compasso. Vamos iniciar com a reta diretriz d e um foco $F$ qualquer. O vértice é o ponto médio do segmento $\overline{FA}$, satisfazendo a definição de parábola:
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Vamos agora traçar uma reta $r_1$ paralela a $d$ a uma distância $h_1$:
image Em seguida, trace quantas retas desejar: $r_2$, $r_3$, $\cdots$, $r_n$ paralelas a $d$ cujas distâncias são respectivamente iguais a $h_2$, $h_3$, $\cdots$, $h_n$:
image Com a ponta seca do compasso em $F$ e raio igual a $h_1$, descreva um arco interceptando $r_1$ nos pontos $P_1$ e $P_1^\prime$. Em seguida, com raio igual a $h_2$, descreva outro arco interceptando $r_2$ em $P_2$ e $P_2^\prime$, e assim sucessivamente, encontrando os pontos $P_n$ e $P_n^\prime$:
image A parábola é a curva que passa pelos ponto $V$, $P_n$ e $P_n^\prime$:
image Desta forma, fica fácil observar que o eixo da parábola divide-a em duas partes simétricas:
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Referências:

$[1]$ Geometria Analítica – Steinbruch e Winterle
$[2]$ Matemática Ensino Médio V1 – Stocco Smole e Diniz


Veja mais:


Construção Geométrica da Hipérbole com Régua e Compasso
Construções Geométricas de PHI em Circunferências
Construção Geométrica de Tangentes com Régua e Compasso

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