9 de out de 2011

Como calcular o comprimento de um arco de curva


No século $XVII$, pouco antes da invenção do Cálculo Diferencial e Integral, existiam muitos métodos para os problemas de quadratura (cálculo de áreas), cubatura e retificação de uma curva.

O problema de calcular o comprimento de arco de uma curva é em alguns casos extremamente difícil, pois pode nos levar a integrais elípticas. Com a invenção do Cálculo Diferencial e Integral, este procedimento nos leva a resolução de uma integral definida em que o integrando envolve uma raiz quadrada e a derivada da função dada.

Para curvas geradas por funções do primeiro grau, basta aplicarmos o Teorema pitagórico no intervalo desejado que encontramos o comprimento da curva rapidamente.



O segmento $\ell$ é a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos $\Delta x$ e $\Delta y$ e seu comprimento é dado por:
\begin{equation}
\ell = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}
\end{equation}
Para as demais funções, temos que usar o Cálculo para determinarmos o comprimento desejado de um arco.

Considere a função $y=f(x)$, contínua no intervalo $[a,b]$ e derivável em $(a,b)$, cujo gráfico pode ser esboçado como:


Para determinarmos o comprimento do arco da curva entre os pontos $A=\left(a,f(a)\right)$ e $B=\left(b, f(b)\right)$, podemos subdividir a curva em segmentos infinitesimais de reta, que já sabemos calcular pela relação $(1)$, onde:
\begin{equation*}
x_0 = a < x_1 <x_2 < \cdots < x_{k-1} < x_k < \cdots < x_n = b
\end{equation*}
Conforme podemos observar na figura abaixo:



Seja $P_k$ o ponto $(x_k , y_k)$ onde $y_k = f(x_k)$. O comprimento total da poligonal $P_0P_1P_2\cdots P_{k-1}P_k\cdots P_n$ é a soma dos comprimentos das cordas que ligam cada ponto ao próximo.

Sejam $\Delta x_k = x_k - x_{k-1}$ e $\Delta y_k = y_k - y_{k-1}$ para $k=1,2,3, \cdots, n$.

Assim, temos triângulos retângulos e o problema se resumiria em encontrarmos os comprimentos infinitesimais de suas hipotenusas de tamanho $\ell_k$:


Pelo teorema pitagórico, o comprimento da k-ésima corda, denotada por $\ell _k$, é igual a:
\begin{equation*}
\ell_k = \sqrt{\left(\Delta x_k \right)^2 + \left(\Delta y_k \right)^2}\\
\ \\
\ell_k = \sqrt{\frac{\left(\Delta x_k \right)^2 + \left(\Delta y_k \right)^2}{\left(\Delta x_k \right)^2}\cdot \left(\Delta x_k \right)^2}\\
\ \\
\ell_k = \sqrt{1+\frac{\left(\Delta y_k \right)^2}{\left(\Delta x_k \right)^2}} \cdot \Delta x_k
\end{equation*}
\begin{equation}
\ell_k = \sqrt{1 + \left( \frac{\Delta y_k}{\Delta x_k}\right)^2} \Delta x_k
\end{equation}
Considerando $f(x)$ contínua no intervalo $[a,b]$ e derivável em $(a,b)$, então $f(x)$ é derivável no intervalo $[x_{k-1}, x_k]$ e pelo teorema do valor médio, existe $\xi_k \in (x_{k-1}, x_k)$, tal que:
\begin{equation}
\frac{\Delta y_k}{\Delta x_k} = f^{\prime} (\xi _k)
\end{equation}
Substituindo $(3)$ em $(2)$, temos que:
\begin{equation}
\ell _k = \sqrt{1+ \left[ f^{\prime} (\xi _k)\right]^2} \cdot \Delta x_k
\end{equation}
Mas, $\ell_k$ é somente o comprimento de um segmento infinitesimal da curva. Para o comprimento total da poligonal $L$, fazemos:
\begin{equation*}
L = \sum_{k=1}^n \ell_k = \sum_{k=1}^n \sqrt{1+\left[ f^{\prime} (\xi_k)\right]^2} \cdot \Delta x_k
\end{equation*}
Quando tende ao infinito, o comprimento do subintervalo tende a zero. Assim, se $L$ denota o comprimento do arco $AB$, então:
\begin{equation*}
L = \lim_{\max \Delta x_k \rightarrow 0} \sum_{k=1}^n \sqrt{1+ \left[ f^{\prime}(\xi _k)\right]^2} \cdot \Delta x_k
\end{equation*}
\begin{equation}
L = \int_a^b \sqrt{1+\left[ f^{\prime} (x) \right]^2} \ dx
\end{equation}
Isso com a hipótese adicional que $f^{\prime} (x)$ seja contínua para que a integral dada na relação $(5)$ exista.

Vejamos alguns exemplos para melhor ilustrar esta ideia.

Exemplo $1$

Seja a função $f(x)=2x-1$. Determinar o comprimento do arco da curva no intervalo $[1,2]$.

Primeiramente calculamos a derivada da função:
\begin{equation*}
f(x) = 2x-1 \quad \Longrightarrow \quad f^{\prime}(x)=2
\end{equation*}
Em seguida, substituímos na fórmula $(5)$ para o comprimento do arco:
\begin{equation*}
L=\int_1^2 \sqrt{1+(2)^2}\ dx = \int_1^2 \sqrt{5}\ dx = \left[\sqrt{5} x\right]_1^2=\sqrt{5}~~u.c.
\end{equation*}

Graficamente temos:



Se utilizarmos o teorema pitagórico, obteríamos:
\begin{equation*}
L^2 = (3-1)^2 +(2-1)^2 \\
L=\sqrt{5}~~u.c.
\end{equation*}
Que é exatamente o que encontramos utilizando o cálculo diferencial e integral.

Podemos aplicar este conceito para diversas curvas mais complexas, mas dependendo da função original, podemos obter uma integral com bastante dificuldade de resolução. Vejamos outro exemplo:

Exemplo $2$

Seja a função $f(x) = x^{3/2}$. Determinar o comprimento da curva no intervalo $[1,4]$.


A função $f(x)=x^{3/2}$ tem como derivada $f^{\prime}(x)= \frac{3}{2}x^{1/2}$. Aplicamos a fórmula dada em $(5)$:
\begin{equation*}
L = \int_1^4 \sqrt{1+\left(\frac{3}{2}x^{1/2}\right)^2}\ dx = \int_1^4 \sqrt{1+\frac{9}{4}x} \ dx
\end{equation*}
Para o integrando, fazemos a substituição $\displaystyle u = \frac{9}{4}x + 1$. Assim, $\displaystyle du = \frac{9}{4}dx$ e $\displaystyle dx = \frac{4}{9}du$.

Precisamos calcular os novos limites de integração para a variável $u$.

Para o limite inferior, substituímos $x$ por $1$:
\begin{equation*}
u=\frac{9}{4}x + 1 = \frac{9}{4}\cdot 1 + 1 = \frac{13}{4}
\end{equation*}
Para o limite superior, substituímos $x$ por $4$:
\begin{equation*}
u=\frac{9}{4}x + 1 = \frac{9}{4} \cdot 4 + 1 = 10
\end{equation*}
Assim:
\begin{equation*}
L = \frac{4}{9}\int_{13/4}^{10} \sqrt{u}\ du
\end{equation*}
A integral de $\displaystyle \sqrt{u}$ é $\displaystyle \frac{2u^{3/2}}{3}+C$. Assim:
\begin{equation*}
L = \frac{4}{9} \left[ \frac{2u^{3/2}}{3}\right]_{13/4}^{10}\\
\ \\
L=\frac{4}{9}\left[ \frac{2\cdot 10^{3/1}}{3} - \frac{\displaystyle 2\left(\frac{13}{4}\right)^{3/2}}{3} \right]\\
\ \\
L \approx 7,6337~~u.c.
\end{equation*}

Exemplo $3$

Seja a função $f(x)=\cosh (x)$. Determinar o comprimento do arco da curva no intervalo $[e,-e]$.



A função $f(x)=\cosh (x)$ tem como derivada $f^{\prime} (x) = \text{senh}(x)$. Aplicando na relação $(5)$:
\begin{equation}
L = \int_{-e}^{e} \sqrt{1+\text{senh}^2(x)} \ dx
\end{equation}
Pela identidade fundamental trigonométrica hiperbólica, temos que:
\begin{equation}
\cosh^2 (x) - \text{senh}^2(x) = 1
\end{equation}
Substituinfo $(8)$ em $(7)$, obtemos:
\begin{equation*}
L = 2 \int_0^e \sqrt{\cosh ^2(x)}\ dx = 2 \int_0^e \cosh (x)\ dx\\
\ \\
L = \left[ 2\ \text{senh}(x) \right]_0^e = 2\ \text{senh}(e) \approx 15,088~~u.c.
\end{equation*}

Referências

[1] Cálculo com Geometria Analítica V1 - Simmons - Ed. McGraw Hill, São Paulo, 1987

Veja mais

O Cálculo Integral
Área em coordenadas polares
Método de Integração por substituição

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17 comentários:

  1. Muito bom o post. Com certeza é mais um material disponível na internet que será muito útil para os estudantes. Abraços!

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  2. Excelente explicacion amigo... Muchas gracias por eso.

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  3. Olá, Kleber!

    Você não trocaria o seu emprego atual, para ser professor? Não? Por que? Ah! Certo! Já entendi, concordo com a sua opinião e, só lamento que os estudantes brasileiros que deveriam ter tido aulas com você, devido a essas coisas que os nossos administradores políticos ( elites e/ou corruptos) criaram e que desestimulam esses profissionais do ramo de ensino!
    Sorte, que agora aqueles estudantes que foram privados de receberem seus ensinamentos em sala de aula, te em através da internet, embora que de forma virtual, o prazer de aprenderem esses ensinamentos com o mestre Kleber, que com a sua didática e capacidade, tornam os conteúdos do cálculo considerados difíceis, uma prazerosa e estimulante absorção de conhecimentos!

    Parabéns, pela bela, útil e tão caprichada postagem!

    Um abraço!!!!!

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  4. #Paulo, agradeço sua ajuda neste artigo que deu um embasamento teórico mais formal.

    #Gabriel, obrigado pelo comentário e pela força!

    #Valdir, sempre exagerando nos comentários... Mas é verdade, não trocaria meu emprego atual pela docência. Mas é uam idéia que ainda não me abandonou. Espero conseguir um dia dar aulas num período (talvez noturno) e conciliar meu trabalho. Mas de qualquer modo, me dá prazer escrever posts como este e receber tão bons elogios.

    Abraço a todos vocês, amigos!

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  5. Ricardo Tavares11/10/11 18:39

    Ola, seu que meu comentario esta totalemente fora de contexto, mas alguem saberia me dizer qual os assuntos mais atuais em matematica? Oque é que pesquisadores estudam atualmente? Desculpe a pergunta, mas é que ja procurei na internet e nao consegui achar nenhuma resposta...

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    Respostas
    1. Ricardo tavares meus cumprimentos. Ao contrário do que algumas pessoas pensam que a matemática é exata e sempre é a mesma coisa não carece de atualizações, estão totalmente equivocadas, a matemática é lógica e analítica e se assemelha às outras ciências. Para buscar atualizações e saber nas novidades nada melhor que estar na academia através de especializações, mestrado ou doutorados ou sendo pesquisador constante na área, portanto, posso citar a você alguns exemplos de assuntos atuais que surgiram recentemente no ramo da matemática e que os alunos do ensino médio e fundamental não tem acesso: as geometrias não euclidianas como a geometria esférica e elíptica, a geometria hiperbólica com nenhuma aplicação nos livros do ensino médio, a geometria do taxista, a geometria dos fractais e os mais recentes as pesquisas sobre o que se conhece resumidamente por P e NP, ou seja, a matemática polinomial e as não polinomiais conhecida também como as transcendentes, muito usado na engenharia da computação, temos também a aprendizagem da álgebra e geometria através da análise de desafios buscando conjecturas e padrões já usado nas escolas de ensino médio e fundamental em alguns países da europa. enfim, a matemática também progride.

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  6. Oi, quero saber como seria o cálculo, por integral definida, do semi-perímetro da circunferência.

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  7. Olá Ítalo, veja neste artigo como calclar o comprimento da circunferência:

    http://elementosdeteixeira.blogspot.com.br/2012/10/079-calculo-do-comprimento-da.html

    Note que o cálculo é feito em apenas um quadrante e depois multiplicado por 4. Para a semi-circunferência, multiplique por 2.

    Espero que te ajude.

    Abraços!

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  8. Post muito interessante e útil, eu sempre me perguntava se a integral é a área sob uma curva, há algum método para calcular o "perímetro" de uma curva?

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    Respostas
    1. Acredito que para o perímetro da circunferência seja fácil, mas para a elipse, veja este post: http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2010/09/uma-formula-para-calcular-o-comprimento.html

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  9. Extremamente útil e simples sua explicação. Sua matéria me ajudou muito em meus estudos. Muitíssimo obrigado.

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  10. Kleber, no segundo exemplo esqueceste de alterar o intervalo da integral na substituição:

    $L = \int_1^4 \sqrt{1+ \frac {9x} 4}\ dx = \int_{\frac {13} 4}^{10} \frac 4 9 \sqrt u\ du$

    Além disso, esqueceste de por o 1 ao cubo quando substituiu "u" por "1 + 9x/4". O resultado é na verdade 7,6337...

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    1. Tem toda razão. Em breve farei a correção. Obrigado por avisar.

      Abraços.

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  11. Seu blog, pra mim é o melhor da internet e, certamente, para todo amante da matemática. Parabéns pelo trabalho, cara, sensacional.

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    Respostas
    1. Obrigado Pet K. São não fosse o incentivo de vocês leitores, acho que não conseguiria manter o blog ativo.

      Um forte abraço.

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    2. Bom dia. Kleber, em alguns exemplos você colocou na resposta: u.a (unidade de área) e em outros não colocou nada. Não seria todos: u.c.? (unidade de comprimento)

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    3. Olá Sandro. Realmente um vacilo. Agradeço por avisar-me. Farei a correção em breve.

      Um abraço.

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