09/10/2011

Como Calcular o Comprimento de um Segmento de Curva

No século XVII, poucos antes da invenção do Cálculo Diferencial e Integral, existiam muitos métodos para os problemas de quadratura (cálculo de áreas), cubatura e retificação de uma curva.

O problema de calcular o comprimento de arco de uma curva é em alguns casos, extremamente difícil, pois pode nos levar a integrais elípticas. Com a invenção do Cálculo Diferencial e Integral, este procedimento nos leva a resolução de uma integral definida em que o integrando envolve uma raiz quadrada e a derivada da função dada.

Para curvas geradas por funções do primeiro grau, basta aplicar o teorema pitagórico no intervalo desejado, que encontramos o comprimento da função rapidamente.

image

clip_image004

clip_image006

Para as demais funções, temos que usar o Cálculo Diferencial e Integral para determinarmos o comprimento de um arco dado.

Considere a função y = f (x) contínua no intervalo [a, b] e derivável em (a, b), cujo gráfico pode ser observado abaixo:

image

Para determinarmos o comprimento do arco da curva entre os pontos clip_image010 e clip_image012, podemos subdividir a curva em segmentos infinitesimais de reta, que já sabemos calcular pela relação (1), onde:

clip_image014

Conforme podemos observar na figura abaixo:

image

Seja clip_image018 o ponto clip_image020 onde clip_image022. O comprimento total da poligonal clip_image024 é a soma dos comprimentos das cordas que ligam cada ponto ao próximo.

Sejam clip_image026 para k = 1, 2, 3, ..., n

Assim, temos triângulos retângulos e o problema se resumiria em encontrarmos os comprimentos infinitesimais de suas hipotenusas de tamanho clip_image028:

image Pelo teorema pitagórico, o comprimento da k-ésima corda que denotaremos por clip_image028[1] é igual a:

clip_image032

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clip_image036

clip_image038

Considerando f (x) contínua no intervalo [a, b] e derivável em (a, b), então f (x) é derivável no intervalo [xk-1, xk] e pelo teorema do valor médio existe clip_image040, tal que:

clip_image042

Substituindo (3) em (2), temos:

clip_image044

Mas, clip_image046é somente o comprimento de um segmento infinitesimal da curva. Para o comprimento total da poligonal L, fazemos:

clip_image048

Quando tende ao infinito, o comprimento do subintervalo tente a zero. Assim, se L denota o comprimento do arco AB, então:

clip_image050

clip_image052

Isso com a hipótese adicional que f ΄ (x) seja contínua para que a integral dada na relação (5) exista.

Vejamos alguns exemplos para melhor ilustrar esta idéia:

 

Exemplo 1: Seja a função f (x) = 2x – 1. Determinar o comprimento do arco da curva f (x) no intervalo [1, 2].

Primeiramente calculamos a derivada da função:

clip_image054

Em seguida, substituímos na fórmula (5) para o comprimento do arco:

clip_image056

clip_image058

clip_image060

clip_image062

Graficamente teríamos:

image Se utilizarmos o teorema pitagórico, obtemos:

clip_image066

clip_image068

clip_image070

clip_image072

Que é exatamente o que encontramos utilizando a fórmula com a integral.

Podemos aplicar este conceito para diversas curvas mais complexas, mas dependendo da função original, pode levar a uma integral com bastante dificuldade de resolução. Vejamos outros exemplos:

Exemplo 2: seja a função clip_image074. Determinar o comprimento do arco da curva no intervalo [1, 4].

image clip_image078

clip_image080

clip_image082

Para resolvermos esta integral, utilizamos a técnica de integração por substituição. Fazemos:

clip_image084

clip_image086

clip_image088

clip_image090

clip_image092

Mas, clip_image094:

clip_image096

clip_image098

clip_image100

clip_image102

Exemplo 3: Seja a função f (x) = cosh (x). Determinar o comprimento do arco da curva no intervalo [– e, e].

image clip_image106

clip_image108

Pela identidade fundamental da trigonometria hiperbólica, temos:

clip_image110

Substituímos (8) em (7):

clip_image112

clip_image114

clip_image116

clip_image002

clip_image004[4]

Referências:

[1] Cálculo com Geometria Analítica V1 – George B. Simmons – Ed. McGaw Hill, São Paulo, 1987


Veja mais:

O Cálculo Integral
Método de Integração por substituição
A Primeira Retificação de uma Curva no blog Fatos Matemáticos
Uma Fórmula para Calcular o Comprimento da Elipse no blog Fatos Matemáticos

10 comentários:

  1. Muito bom o post. Com certeza é mais um material disponível na internet que será muito útil para os estudantes. Abraços!

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  2. Excelente explicacion amigo... Muchas gracias por eso.

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  3. Olá, Kleber!

    Você não trocaria o seu emprego atual, para ser professor? Não? Por que? Ah! Certo! Já entendi, concordo com a sua opinião e, só lamento que os estudantes brasileiros que deveriam ter tido aulas com você, devido a essas coisas que os nossos administradores políticos ( elites e/ou corruptos) criaram e que desestimulam esses profissionais do ramo de ensino!
    Sorte, que agora aqueles estudantes que foram privados de receberem seus ensinamentos em sala de aula, te em através da internet, embora que de forma virtual, o prazer de aprenderem esses ensinamentos com o mestre Kleber, que com a sua didática e capacidade, tornam os conteúdos do cálculo considerados difíceis, uma prazerosa e estimulante absorção de conhecimentos!

    Parabéns, pela bela, útil e tão caprichada postagem!

    Um abraço!!!!!

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  4. #Paulo, agradeço sua ajuda neste artigo que deu um embasamento teórico mais formal.

    #Gabriel, obrigado pelo comentário e pela força!

    #Valdir, sempre exagerando nos comentários... Mas é verdade, não trocaria meu emprego atual pela docência. Mas é uam idéia que ainda não me abandonou. Espero conseguir um dia dar aulas num período (talvez noturno) e conciliar meu trabalho. Mas de qualquer modo, me dá prazer escrever posts como este e receber tão bons elogios.

    Abraço a todos vocês, amigos!

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  5. Ricardo Tavares11/10/11 18:39

    Ola, seu que meu comentario esta totalemente fora de contexto, mas alguem saberia me dizer qual os assuntos mais atuais em matematica? Oque é que pesquisadores estudam atualmente? Desculpe a pergunta, mas é que ja procurei na internet e nao consegui achar nenhuma resposta...

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    Respostas
    1. Ricardo tavares meus cumprimentos. Ao contrário do que algumas pessoas pensam que a matemática é exata e sempre é a mesma coisa não carece de atualizações, estão totalmente equivocadas, a matemática é lógica e analítica e se assemelha às outras ciências. Para buscar atualizações e saber nas novidades nada melhor que estar na academia através de especializações, mestrado ou doutorados ou sendo pesquisador constante na área, portanto, posso citar a você alguns exemplos de assuntos atuais que surgiram recentemente no ramo da matemática e que os alunos do ensino médio e fundamental não tem acesso: as geometrias não euclidianas como a geometria esférica e elíptica, a geometria hiperbólica com nenhuma aplicação nos livros do ensino médio, a geometria do taxista, a geometria dos fractais e os mais recentes as pesquisas sobre o que se conhece resumidamente por P e NP, ou seja, a matemática polinomial e as não polinomiais conhecida também como as transcendentes, muito usado na engenharia da computação, temos também a aprendizagem da álgebra e geometria através da análise de desafios buscando conjecturas e padrões já usado nas escolas de ensino médio e fundamental em alguns países da europa. enfim, a matemática também progride.

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  6. Oi, quero saber como seria o cálculo, por integral definida, do semi-perímetro da circunferência.

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  7. Olá Ítalo, veja neste artigo como calclar o comprimento da circunferência:

    http://elementosdeteixeira.blogspot.com.br/2012/10/079-calculo-do-comprimento-da.html

    Note que o cálculo é feito em apenas um quadrante e depois multiplicado por 4. Para a semi-circunferência, multiplique por 2.

    Espero que te ajude.

    Abraços!

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  8. Post muito interessante e útil, eu sempre me perguntava se a integral é a área sob uma curva, há algum método para calcular o "perímetro" de uma curva?

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    Respostas
    1. Acredito que para o perímetro da circunferência seja fácil, mas para a elipse, veja este post: http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2010/09/uma-formula-para-calcular-o-comprimento.html

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