12 de ago de 2011

Como Dividir um Ângulo em Três Partes Iguais com Régua e Compasso

Sabemos que a trissecção do ângulo é um dos três problemas clássicos da Geometria onde não é possível sua construção utilizando ferramentas euclidianas, ou seja, utilizando régua não-graduada e compasso.

A saber, os três problemas clássicos da Geometria são: a trissecção do ângulo, a quadratura do círculo e a duplicação do cubo.

No entanto, podemos determinar aproximações razoáveis que dependendo da utilização, o erro não nos afetará. A aproximação da trissecção do ângulo é relativamente simples e requer poucos segundos para sua construção.

Para iniciarmos, construa uma circunferência de centro O:

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Em seguida, trace uma reta que passe pelo centro O e uma segunda reta que também passe pelo centro O, marcando os pontos A e B com a intersecção com a circunferência. Desta forma, definimos o ângulo AOB, que queremos trissectar:

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Trace a bissetriz do ângulo AOB marcando como E a intersecção com a circunferência:

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Com raio OE e centro em E, descreva um arco interceptando o prolongamento da bissetriz OE em F:

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Agora, trace as retas FC e FD e marque as intersecções com a circunferência como G e H:

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Os pontos G e H dividem o arco AB em três partes aproximadamente iguais. Trace as retas OG e OH, definindo os ângulos:

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Encontraremos, então, o ângulo AOB dividido em três partes “iguais”: AOH, HOG e GOB, com boa aproximação:

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Mas é somente uma aproximação. Se tomarmos o ângulo AOB = 60°, então cada ângulo formado seria de 20°. Com o auxílio de um software gráfico, construímos um ângulo de 60° trissectado corretamente:

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As retas na cor preta são as mesmas retas construídas por aproximação. As retas em vermelho são as retas que dividem o ângulo corretamente em 20°. Ampliando o ponto H, podemos ver que realmente há a diferença:

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O valor do ângulo construído mede aproximadamente 19,795°. Não é exato, mas fica bem próximo. Desta forma, o ângulo central HOG é ligeiramente maior que os outros dois.


Veja mais:

Construção Geométrica de Tangentes com Régua e Compasso
Construção Geométrica de um Heptadecágono Regular com Régua e Compasso
Os Três Problemas Famosos da Geometria Grega no blog Fatos Matemáticos


13 comentários:

  1. Olá, Kleber!
    Há quem afirme por aí (ouvi isso de um professor da UFRN), que o Gauss dissera, após tentar obter a trissecção com régua e compasso, de um ângulo dado qualquer e não conseguir, que... "não houve , não há e nunca haverá homem algum nessa Terra, capaz de resolver esse problema"! Bom, Gauss falou assim, mas eu (mingaus) digo que... já tentei e sei que isso é... "uma questão de tempo"! KKKKKKKKKKKKKKKKKKKRSRSRSRRRSRsrrssrsrs!!!!!

    Posso resolver isso, mesmo sem utilizar a régua e o compasso e apenas usando o... TEMPO! É vero!!!!!

    Um abraço!!!!!

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  2. Imagino que seu relógio seja de ponteiros! Hehehe!!!

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  3. Olá, Kleber!
    Ah, você já sabe como se faz com o dito cujo (aprendi com um professor)! Será que você também conhece o "dispositivo de trissecção"? Já utilizei e funciona de verdade!

    Um abraço!!!!!

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  4. A machadinha? Conheço sim. Fizemos um protótipo na faculdade. Inclusive o Paulo fez um artigo:
    http://fatosmatematicos.blogspot.com/2010/11/o-trissector-de-angulos.html

    Um abraço!!

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  5. Olá, Kleber!

    Hunnnn!!!! Sabe tudo! KKKKKKKKKKKKKK!!!!!!!

    Bravos! Sugiro que vc publique tbm a solução com o uso do relógio de ponteiros. Que tal?

    Um abraço!!!!!

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  6. Muito interessante. Apenas uma correção, para ficar perfeito. Na frase:

    "Encontraremos, então, o ângulo AOB dividido em três partes “iguais”: AOB, HOG e GOB, com boa aproximação", seria na verdade AOH, HOG, e GOB, certo?

    Então quer dizer que não tem jeito mesmo. Se quisermos uma precisão maior, só dividindo algebricamente?

    Algumas coisas na geometria sempre me intrigaram. Deixa ver se eu me faço entender. Vamos analisar uma situação prática:

    Um professor de geometria pede ao aluno que desenhe um segmento de reta de 2 cm de comprimento. A rigor, dependendo da precisão exigida, o traço desenhado pelo aluno poderia estar ou não dentro da tolerância definida pelo professor, na correção. Se a precisão admitida fosse em termos de décimos de milímetro, a própria espessura da grafite usada pelo aluno, impediria a perfeição na resposta. Então, se formos pensar, a representação de um segmento de reta, que não apresentasse largura, por exemplo, somente comprimento, deveria ser invisível aos nossos olhos, pois teria que ter apenas uma dimensão.(Tudo isso pode parecer meio doido, mas vamos lá)

    O meu professor de matemática, no tempo do colegial, disse que iria representar geométricamente a "raíz quadrada de 2" na reta numerada. Então ele desenhou um quadrado de lado 1 cm, e transportou com um compasso, o segmento correspondente à diagonal do quadrado formado, na reta numerada. Eu não entendia como era possível enxergar (e medir) aquele segmento de reta, de aproximadamente 1,41 cm, aparentemente bem definido ali na minha frente, mas não poderia atribuir um valor algébrico "exato" para ele. Como era possível estabelecer uma relação facilmente compreensível entre um segmento de reta de 1 cm, bem definido, tanto geometricamente como algebricamente, e o mesmo não podia ser feito com a raíz de 2 ?. Ou seja, eu podia enxergar o comprimento correspondente à raíz de 2, mas jamais poderia definir o seu exato valor. Estranho...

    Esta coisa do tão perto da gente, e que é possível de ser visto ou sentido, mas que não pode ser definido exatamente, também faz com que a matemática se aproxime muito da física. Afinal, como pode? Sabemos que o átomo "está ali", mas você não consegue explicar definitivamente a sua constituição básica. A raíz de 2 pode ser representada com um segmento de reta, você pode vê-lo,têm "começo e fim", mas é um número irracional.
    Tão perto de nós, e ao mesmo tempo tão distantes.

    Acho que faltou filosofia, ou sei lá, quando eu fiz o colegial. Tudo parecia muito determinista.

    O que acha?

    Se achar que estou ficando doido, também pode falar...rsrs.

    Abraço

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  7. Olá Jairo,

    Corrigido!

    Pelo o que conheço sobre este assunto, não vejo como trissectar um ângulo com régua e compasso. Talvez com uma nova matemático isso seja possível. Afinal, precisou de séculos para provarem que não era possível a resolução dos 3 problemas gregos.

    Entendo o que você quis dizer. Mas para nós, matemáticos ou físico, não importa muito se traçamos uma reta com uma régua, ou uma circunferência com o compasso. O que importa é o conceito empregado. Em relação à diagonal do quadrado de lado 1 transportada para a reta real, definindo um comprimento de $\sqrt2$, creio que seja a mesma coisa: apesar de não conseguirmos medir seu valor, sabemos que está ali e o quanto vale. Mas se pensarmos melhor, mesmo um segmento definido de 1cm tem erro. Para nós foi traçado um segmento bem definido, mas se medirmos com micrômetros já conseguimos apontar erros. Mas para inúmeras aplicações, este erro é desprezível, assim como este exemplo da trissecção de um ângulo. É isso que não entendemos e esse é somente um exemplo das inúmeras que passamos a aceitar como verdade e só muito depois conseguimos entender. É como a eletricidade: sabemos que existe, mas não podemos vê-la. Aliás, essa é uma analogia que é feita em relação a Deus, para quem acredita, basta aceitá-lo como verdade, já que não podemos vê-lo. Erich Fromm já dizia em seu livro a Arte de Amar: O que é Deus? Como podemos nomeá-lo se não sabemos o que é?

    Se você está ficando doido, creio que faço parte de seu time!

    Um abraço amigo!

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  8. Meu amigo:

    Agradeço pela paciência e compreensão a respeito destas minhas divagações. O que você disse sobre as aproximações é correto.
    Veja que a engenharia, por exemplo, utiliza-se de ajustes e tolerâncias entre peças que vão se encaixando, até mesmo em um pequeno relógio, e cumprem perfeitamente a função para a qual foram projetadas, sem que precisemos ficar imaginando o que ocorre ao nível atômico das estruturas. Aliás, a maioria das aplicações práticas, até os dias de hoje, levaram ou levam em consideração estas medidas, digamos, aproximadas, da raíz de 2, ou do número pi, por exemplo. E até o momento, elas têm sido mais do que suficientes nestes casos. O mundo da engenharia convive muito bem com elas.

    O problema, meu amigo, se dá a partir do momento em que a física começa a flertar esta linha que separa o digamos, mundo compreensível e visível aos olhos, tentando ultrapassá-la, na tentativa de entender o que se passa além. É nesta área que o bicho está pegando já há algum tempo.

    Quando digo que fica parecendo coisa de doido, acho que é no sentido de que muitos classificam desta maneira, as pessoas que ousam pensar no que estaria por trás de toda esta obra da natureza, e entendo perfeitamente o papel das religiões neste caso, tentando mostrar que talvez certas respostas jamais possam ser obtidas mesmo, somente através da Ciência. A única coisa que sou contra, é quando as religiões limitam o pensamento racional de seus seguidores, tornando-os pessoas de certa forma conformistas, e também critico muito quando religiões são usadas no intuito de escravizar mentes para obtenção de qualquer tipo de lucro.

    Lembremos que muitas visões de mundo foram revistas, a partir do esforço destes "doidos", como a maioria dos inventores, cientistas, matemáticos, ou filósofos que, para nossa sorte, não se conformaram com as explicações da maioria dita "normal", de suas épocas.


    Eu costumo dizer que a maravilha da Internet, é justamente ter permitido a possibilidade de trocarmos ideias com pessoas tão inteligentes como você, mas que estão a uma certa distância física de nós.
    Tenho muitos amigos aqui em Piracicaba, conversamos ontem sobre futebol, política, saúde, homofobia, pais e filhos, mas dificilmente encontraria alguém disposto a conversar sobre alguns assuntos de que gosto, como estes que estamos conversando. Viva a internet! E também os físicos que fizeram tantas descobertas, sobre eletricidade e ondas, e que possibilitaram este prazer da troca de informações aqui neste espaço. Pena que a maioria dos jovens, ao meu ver, têm subestimado demais o uso desta ferramenta.

    Abraço, meu amigo, e Feliz Dia dos Pais.

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  9. Olá Jairo,

    Bem, a tolerância dependerá da aplicação: claro que num relógio a tolerância é menor do que na construção de carpintaria. Eu trabalho numa indústria eletrônica, onde fabricamos computadores de bordo, rastreadores entre outros. Num equipamento, que utiliza uma bateria de Li-ion, a precisão da medição da tensão é feita em centésimo de volt. Parece desnecessário, mas quando a bateria está entre 4,00V e 3,80, sabemos que decai 0,01V por hora. Mas quando vamos medir a tensão da rede elétrica (127VAC) a tolerância fica entre em 5%, perfeitamente aceitável. Na nanotecnologia, ou mesmo na construção de microcontroladores, a precisão aumenta para algumas casas decimais.

    Dan Brown, sempre faz críticas à religião (no caso o vaticano) sobre a forma que é utilizada para controlar as pessoas. No livro anjos e demônios fica claro que a igreja prefere manter o manto místico de deus sobre as mentes limitadas das pessoas, como um ser punitivo que fica à espreita esperando alguém fazer algum coisa errada para poder punir. Lá tem o CERN que criou a antipartícula em seu LHC, que seria capaz de explicar a origem do universo independente de deus. Por fim, preferem não revelar à população os fatos ocorridos, para não abalar a fé das pessoas. Eu acho importante as pessoas terem fé. Não importa onde ou em que, mas basta ter, pois acreditar que existe algo acima de nós, de certa forma conforta as pessoas. Alguns acreditam na Ciência, que também conforta em saber que para tudo há uma exlicação além de nos dar maior motivação a buscá-las.

    Newton foi um excepcional cientista, mas também era teólogo, o que parece uma contradição, mas soube manter cada coisa em seu lugar, e graças a ele criou-se uma nova física. E Galileu, que por pouco não defuntou precocemente por acreditar em seus princípios?

    Sobre a internet, concordo plenamente com você. Sabe que eu conheci minha esposa na internet em 2001, sou de guarulhos e ela do guarujá. Nos encontramos, namoramos, casamos e nossa filha hoje tem 2,5 anos. Tudo graças à internet! Conheci també muitas pessoas bacanas que se tornaram amigas, como você, o Valdir, o Paulo, e outros. Graças à internet.

    Conheci uma pessoa na faculdade que se tornou um amigo. Fazia matemática e dava aual de filosofia. Tinha uma mente inquieta, sempre trazendo novas idéias em assuntos simples, semelhante a você. E isso é muito bom!

    Agradeço por compartilhar suas idéias, como já disse, gosto bastante.

    Abraços, amigo e um ótimo dia dos pais para você também!

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  10. Olá, amigos!

    @ Kleber, @ Jairo: de certo modo, eu previ esse acontecimento, qual seja: o encontro de vocês dois e... já antevia o que poderia acontecer num pate-papo entre essas mentes privilegiadas, mas confesso que estou querendo corrigir um erro de avaliação que fiz para menos, quando isso acontecesse e ainda bem que foi assim.
    Até agora, a trissecção angular não tinha sido resolvida por alguém ( ah, e ainda precisa?), então a dupla; Kleber Kilhian e Jairo Grossi, usando da régua dos conhecimentos e o compasso do saber, acabam com a era do problema da não divisão da "pedra-angular" dos comentários (esse problema sim, era preciso resolver) potencialmente ausentes, lacônicos e/ou debochados!

    Que espetáculo! Olha, não sei se eu mereço, mas se vocês são dois doidos,,, tem lugar para mais um? Eu me candidato!

    Vocês acabam de trazer ao mundo, no dia dos pais, essa nova criança redentora chamada de... COMENTÁRIO-BUMERANGUE cujo significado é; aquele que vai e volta com vitalidade.

    Como vocês são os pais da criança e das outras também, desejo-lhes nesse dia e antes que termine.... feliz dia dos pais!

    Um abração, para ambos!!!!!

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  11. Olá Valdir,
    É verdade, creio que se não fosse por você não teria conhecido o Jairo. Às vezes as coisas acontecem assim. E isso é muito bom. Mas, como sempre, você exagera nos comentários! Rsss. Mas esse é seu jeito, irreverente, cativante e inteligente. Acho que criamos uma comunidade virtual muito boa, com amigos de diferentes localidades, idades, pensamentos e experiências. Sempre aprendendo um pouco mais. Mas quanto mais eu aprendo, menos eu sei!
    Um abraço amigo!

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  12. Valdir:
    Obrigado pelos elogios. Não sei se mereço tanto. Tenho certeza de que, em muitos assuntos, ainda tenho muito o que aprender. No entanto, acho que todos nós devemos sempre procurar conselheiros bem preparados, obtendo desta forma, informações e opiniões confiáveis. Nada mais prazeroso do que ouvir aqueles que notadamente entendem do que estão falando.

    Você sabe que durante estes papos que estava tendo com o Kleber, lembrei-me do primeiro contato que tive com seu blog, resolvendo o enigma proposto por você, cuja solução era:
    PER FEITO, SÓ DE US. Lembra-se?

    Gostei da definição dos Comentários Bumerangues.
    É que na nossa vida corrida, não é sempre que temos tempo (e disposição) para nos alongarmos muito. Aproveitei o final de semana para viajar um pouco nestes assuntos, e como disse, é um privilégio poder contar com a paciência (e tempo disponível) de pessoas tão sábias como você, o Kleber, e tantos outros.

    Abraço, amigo.

    ResponderExcluir
  13. Olá, amigos!

    @ Kleber: acredito que eu apenas devo ter agilizado esse encontro.
    Discordo, quanto ao... "exagero" nos meus comentários, pois... os valores que cito não correspondem aos verdadeiros, são inferiores aos que você merecia e tbm, não estou conseguindo escrever um texto do tamanho de um jornal tipo... "O Globo". KKKKKKKKKK! Mas, continuo treinando e me esforçando.

    @ Jairo: lembro disso, muito bem!
    Até porque, você foi a 1ª pessoa que postou um comentário no meu blog e ainda resolveu o enigma que eu propusera.

    Você é outro que não sabe se merece tanto, mas por mais que aumentemos a sua pontuação em: sabedoria, amizade e mais outras ótimas qualidades, ainda assim, não conseguiremos, usando analogia, fazer o devido pagamento ao.. inventor do jogo de xadrez!

    Uma pergunta: Vocês acham que mais uma vez... eu exagerei? Não precisam responder! O silêncio..., KKKKKKKKKKKkk!!!!!!

    Enfim... quero dizer para ambos que; tenho-os como os meus mestres e... com tantos elogios assim... vocês me encabulam!

    Meus votos de bons trabalhos, ótimos comentários bumerangues, saúde e fiquem na paz! Valeu!

    Um abração!!!!!

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