01/06/2011

Intersecção de Circunferências

A equação da circunferência é dada por:
\begin{equation}
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
\end{equation}
Onde $a$ e $b$ são as coordenadas do centro da circunferência e $r$ é o raio da circunferência. Se a circunferência for centrada na origem, a equação $(1)$ se transforma em:
\begin{equation}
x^2+y^2=r^2
\end{equation}
Graficamente, temos:

Sejam duas circunferências $C_1$ e $C_2$. A intersecção dessas duas circunferências é determinada pelos pontos $P(x,y)$ que pertencem a ambas as curvas, satisfazendo o sistema formado por suas equações. Podemos encontrar $3$ situações possíveis:

$1)$ Dois pontos em comum $P_1$ e $P_2$. Isso implica que o sistema de equações admite duas soluções: $P_1(x_1,y_1)$ e $P_2(x_2,y_2)$. Graficamente:

$2)$ Um ponto em comum $P(x,y)$. Isso implica que o sistema de equações admite apenas uma solução real: $P(x,y)$. Graficamente:
$3)$ Nenhum ponto em comum, ou seja, $C_1 \cap C_2 = \phi $. Isso implica que o sistema de equações é impossível. Graficamente:

Vamos resolver alguns exemplos para melhor esclarecimento.

Exemplo $1$: Seja obter a intersecção entre as circunferências $C_1$ e $C_2$, cujas equações são: $C_1: \: x^2+(y-2)^2=4$ e $C_2: \: (x-1)^2+y^2=1$.

Podemos montar o seguinte sistema com as equações:
$$\left\{\begin{matrix}
x^2+(y-2)^2=4\\
(x-1)^2+y^2=1
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
\left\{\begin{matrix}
x^2+y^2-4y=0\\
x^2-2x+y^2=0
\end{matrix}\right.$$
Resolvendo o sistema, encontramos os valores:
\begin{matrix}
y_1=0 \Rightarrow x_1=0\\
y_2=\frac{4}{5} \Rightarrow x_2=\frac{8}{5}
\end{matrix}
Desta forma, as circunferências interceptam-se nos pontos:
\begin{equation*}
P_1=(0,0) \qquad \text{e} \qquad P_2=\left(\frac{8}{5},\frac{4}{5} \right)
\end{equation*}
O conjunto solução é:
\begin{equation*}
C_1 \cap C_2=\left \{ (0,0),\left(\frac{8}{5},\frac{4}{5}\right)\right \}
\end{equation*}
Graficamente, temos:

Exemplo $2$: Seja obter a intersecção entre as circunferências $C_1$ e $C_2$, cujas equações são: $C_1: \: x^2+y^2=4$ e $C_2: \: (x-4)^2+y^2=36$.

Podemos montar o seguinte sistema de equações:
$$\left\{\begin{matrix}
x^2+y^2=4\\
(x-4)^2+y^2=36
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
\left\{\begin{matrix}
x^2+y^2=4\\
x^2-8x+y^2=20
\end{matrix}\right.$$
Resolvendo o sistema, encontramos apenas um valor para $x$:
\begin{equation*}
x=-2 \Rightarrow y=0
\end{equation*}
Logo, as circunferências interceptam-se em apenas um ponto:
\begin{equation*}
P_1=(-2,0)
\end{equation*}
O conjunto solução é:
\begin{equation*}
C_1 \cap C_2={(-2,0)}
\end{equation*}
Graficamente, temos:

Exemplo $3$: Seja obter a intersecção entre as circunferências $C_1$ e $C_2$, cujas equações são: $C_1: \: (x-2)^2+(y-2)^2=1$ e $C_2: \: x^2+(y-2)^2=49$.

Podemos montar o seguinte sistema de equações:
$$\left\{\begin{matrix}
(x-2)^2+(y-2)^2=1\\
x^2+(y-2)^2=49
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
\left\{\begin{matrix}
x^2-4x+y^2-4y=-7\\
x^2+y^2-4y=45
\end{matrix}\right.$$
Resolvendo o sistema, encontramos:
\begin{equation*}
x=13
\end{equation*}
Se substituirmos este valor de $x$ na primeira equação, chegamos a uma equação do segundo grau, cujo discriminante $\Delta$ é negativo:
\begin{equation*}
y=\frac{4\pm \sqrt{-480}}{2}
\end{equation*}
Isso implica dizer que o sistema é impossível. Logo, não há intersecção entre as circunferências.

O conjunto solução é:
\begin{equation*}
C_1 \cap C_2 ={\phi}
\end{equation*}
Graficamente, temos:


Veja mais: 

Como Encontrar o centro de uma Circunferência
Retificando uma Circunferência
Ângulo entre Circunferências e Circunferências Ortogonais

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Um comentário:

  1. Olá, kleber!
    Aqui vc se transformou em... "O senhor dos anéis", rsrsrsrs, com tantas circunferências e o poder de resolução desses sistemas! É brincadeira! O mestre kleber supera a qualidade gráfica e textual, dos melhores livros de matemática que podemos encontrar e não satisfeito com isso (sorte a nossa) dá uma senhora aula, utilizando uma didática impecável, de como transmitir os conhecimentos de matérias difíceis (segundo, opiniões entre a maioria dos alunos) tornando-a compreensível e dominada pelas mentes dos seus leitores.
    Parabéns, por esses trabalhos de alta qualidades gráficas e de melhor ensino/aprendizagem, nesses moldes, que são tão procurados por todos nós!
    Um abraço!!!!!

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Por exemplo, a^2 + b^2 = c^2 entre os símbolos de $\$\$$, gera:
$$a^2+b^2=c^2$$
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