6 de mai de 2011

Divisão de Polinômios

Considere dois polinômios, A(x) e B(x), sendo B(x) um polinômio não identicamente nulo. Ao dividir A(x) por B(x) encontramos outros dois polinômios Q(x) e R(x), tais que:

clip_image002

Onde:

A(x) é o dividendo

B(x) é o divisor

Q(x) é o quociente

R(x) é o resto da divisão

Note que:

1) O grau de Q(x) é igual à diferença dos graus de A(x) e de B(x);

2) O grau do resto R(x), para R(x) não-nulo, será sempre menor que o grau do divisor B(x);

3) Se a divisão é exata, o resto R(x) é nulo, ou seja, o polinômio A(x) é divisível pelo polinômio B(x).

 

Divisão de Polinômios pelo Método da Chave

Para dividir um polinômio A(x) pelo polinômio B(x) na chave, indicamos como:

clip_image004

e adotamos um procedimento análogo ao algoritmo usado na aritmética.

Exemplo 1: seja dividir o polinômio clip_image006 pelo polinômio clip_image008. Fazemos:

Primeiramente escrevemos os polinômios dados em ordem decrescente de seus expoentes e completamos o polinômio com termos de coeficiente zero:

clip_image010

e

clip_image012

Em seguida posicionamos os polinômios na forma de divisão por chave:

clip_image014

Agora, devemos obter o primeiro termo do quociente. Para isso, fazemos a divisão do termo de maior grau do dividendo pelo termo de maior grau divisor. Em seguida, multiplicamos por cada termo do divisor e colocamos o resultado logo abaixo do dividendo para ser subtraído deste:

clip_image016

O que lemos nos livros didáticos é que: “Dividimos o termo de maio grau do divisor, obtendo o primeiro termo do quociente; a seguir multiplicamos o termo obtido pelo divisor e escrever o inverso do resultado sob o dividendo...” Isso fica muito esquisito. Como devemos subtrair este resultado do dividendo, fazemos:

clip_image018

clip_image020

clip_image022

Que é o mesmo que fazer:

clip_image024

Isso explica o porquê de escrever sob o dividendo o inverso do produto do divisor pelo primeiro termo do quociente. Nas próximas etapas já podemos escrever diretamente. Só paramos as iterações quando o resto obtido for de grau menor que o divisor.

clip_image026

Desta forma, obtemos:

clip_image028

clip_image030

 

Teorema do Resto

Definição 1: O resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio (xa) é p próprio valor numérico do polinômio para x = a, que indicamos por P(a).

De acordo com esta definição, temos:

clip_image032

onde R(x) = k (constante), pois o grau de (x – a) = 1

clip_image034

Logo: R(x) = P(a)

Exemplo 2: O resto da divisão do polinômio clip_image036 pelo binômio (x – 2) é dado pelo valor numérico do polinômio P(x) para x = 2, ou seja, para x igual à raiz do binômio:

clip_image038

Logo, o resto é R(x) = 27

 

Teorema do Resto de D’Alembert

Definição 2: A divisão de um polinômio P(x) por um binômio (xa) é exata se, e somente se, P(a) = 0.

Pelo teorema do resto, temos que R(x) = P(a). Se a divisão é exata e R(x) = 0, então P(a) = 0. Se P(a) = 0, então R(x) = 0, logo a divisão é exata.

Exemplo 3: A divisão do polinômio clip_image040 pelo binômio clip_image042 é exata, pos:

clip_image044

clip_image046

 

Divisão de um Polinômio P(x) por (x – a) . (x – b)

Definição 3: Sendo o polinômio P(x) divisível por (x – a) e por (x – b) com a diferente de b, então P(x) é divisível por (x – a) . (x – b).

Como o divisor (x – a) . (x – b) é de grau 2, o resto será no máximo de grau 1. Assim:

clip_image048

Como P(a) = 0, temos:

clip_image050

clip_image052

Como P(b) = 0, temos:

clip_image054

clip_image056

Subtraindo membro a membro a relação (2) de (1), obtemos:

clip_image058

clip_image060

clip_image062

Como a é diferente de b, entoa m = 0.

Substituindo m = 0 na relação (2), obtemos:

clip_image064

clip_image066

clip_image068

Logo, o resto R(x) = mx + q é identicamente nulo e P(x) é divisível por (x – a) . (x – b).

Exemplo 4: O polinômio clip_image070é divisível por clip_image072, pois:

clip_image074

Isto quer dizer que P(x) é divisível por (x – 3)

clip_image076

Que verifica que P(x) é divisível por (x + 2).

Logo, o polinômio P(x) é divisível por (x – 3) . (x + 2).


Veja mais:

Dispositivo Prático de Briot – Ruffini
Multiplicidade de uma Raiz

5 comentários:

  1. Boa tarde!! como fazer esse método da chave no LaTeX?

    ResponderExcluir
  2. Olá Amigo,
    Realmente não sei como fazer a chave em latex. Procurei na internet e também não encontrei. Infelizmente não poderei te ajudar. No link abaixo tem um pdf com muitos códigos Latex. Talvez possa te ajudar de outra forma:

    http://www.4shared.com/document/Q_W5Vs9J/The_Comprehensive_LATEX_Symbol.html

    Abraços.

    ResponderExcluir
  3. Ola, como eu faço pra dividir se o dividendo tiver um grau menor que o divisor. Tipo (x²+2x-9)/(x³-6x²+7) ?

    ResponderExcluir
  4. Divisão de um polinomio por binomio do 1° grau , como é ?

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Cassio, veja no link abaixo o Dispositivo de Briot-Ruffini:

      http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2011/03/dispositivo-pratico-de-briot-ruffini.html

      Abraços.

      Excluir

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