27/02/2011

Construindo Raízes de Números Naturais

A construção de raízes de números naturais utilizando régua e compasso é algo simples e belo de se ver. Vamos ver dois processos diferentes de obter o mesmo resultado.

Seja o triângulo retângulo de catetos iguais a a. Sua hipotenusa h1 assumirá o valor de a√2, segundo o teorema pitagórico:

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[Figura 1 – Triângulo retângulo]

Podemos construir um novo triângulo adjacente à hipotenusa do primeiro, cujos catetos medem a e a√2. Desta forma encontraremos sua hipotenusa h2 de valor a√3:

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[Figura 2 – Triângulos retângulos adjacentes]

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Assim, podemos continuar a construir triângulos retângulos adjacentes, cujos catetos medirão a e hN :

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[Figura 3 – Triângulos enésimos]

Pela figura acima, podemos observar que, para cada triângulo TN, um de seus catetos medirá a e o outro medirá hN – 1 .

Se assumirmos que o cateto a será um segmento unitário, teremos que as hipotenusas hN dos triângulos assumirão os valores de raízes dos números naturais.

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Então a figura 3 pode ser vista da seguinte forma:

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[Figura 4 – Raízes de número naturais]

Podemos ainda concluir algumas relações trigonométricas desta formação peculiar:

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[Figura 5 – Relações trigonométricas]

Observando a figura acima, temos de imediato que:

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No entanto, podemos substituir o valos de hN da relação (1) em (2), obtendo:

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Mas se a tem valor unitário, (3) assume a configuração:

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Podemos, ainda, encontrar raízes de número naturais utilizando as diagonais de quadriláteros. Observe a figura abaixo:

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[Figura 6 – Raízes através de quadriláteros]


COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: Construindo Raízes de Números Naturais. Publicado por Kleber Kilhian em 27/02/2011. URL: . Leia os Termos de uso.


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9 comentários:

  1. Olá, Kleber!
    Eu já conhecia esse processo, mas nunca tinha visto uma explanação do assunto de forma tão caprichada, ilustrada e mais detalhada... que essa sua! Camarada, você é o "cara"!!!!! Parabéns pela ótima postagem!
    Um abraço!!!!!

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  2. Este post seria ideal para uma aula introdutória dos números irracionais, pois teria também a atividade prática de manipular a régua e o compasso. Parabéns pelo post.

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  3. Olá Valdir,
    É um método bem conhecido, tem em muitos sites pos aí. Sempre quis fazer um post sobre esse tema, porque além de justificar muito bem as raízes, a figura geométrica formada é meuito bela!

    Paulo,
    Além da beleza, esta figura engloba construções geométricas, números irracionais, aplicação do Teorema de Pitágoras, trigonometria, uma idéia simples de sequências. Ainda podemos expandir a idéia para o somatório das áreas dos triângulos formados, enfim, em um único problema há várias aplicações.

    Agradeço a vocês dois pela contribuição de comentários tão significativos.

    Um abraço!

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  4. Desafio...
    De acordo com o enunciado, qual será o maior valor de N (N pertencente aos naturais), tal que hN não sobreponha ao primeiro cateto "a" (referente ao triângulo T1)???
    Está lançado...rsrsrs...Boa sorte.

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  5. Anônimo7/3/12 20:08

    Há um problema na construção dos triângulos com um dos lados a raiz quadrada de 2, 3, 5 e 7 já que eles não são retângulos. Haja vista que os ângulos formados não são de 90 graus. Sebá

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  6. Sebá, confesso que não entendi o que quis dizer. É imposto que um dos lados seja 1, ortogonal à hipotenusa do triângulo anterior. Assim, as hipotenusas dos triângulo seguintes são exatamente raízes quadradas dos números naturais. Por favor me indique o erro.
    Abraços.

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  7. Anônimo8/3/12 11:13

    Kleber, se você colocar os dados num software que de desenhe o triângulo com o valor da hipotenusa a raiz quadrada de 2, o ângulo não dá 90 graus.

    Abraços

    Sebá

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  8. Kleber, também não entendi o que o Sebá queria dizer...

    Aproveitando, muito boa a matéria.

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  9. Não sei Aloísio, mas talvez haja algum problema de arredondamento no software que o Sebá usou, já que algumas raizes são irracionais. Eu tinha procurado rapidamente um software que fizesse a construçã ode triângulos utilizando dados de entrada como seus catetos e hipotenusa. Não achei. Mas algebricamente o resultado é esse.

    Abraços.

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