28 de out de 2010

Fração Geratriz de Dízimas Periódicas

Um número é dito irracional se não for possível representá-lo sob a forma de uma fração do tipo:

clip_image002

Exemplos de números irracionais são os famosos números:

π (pi) = 3,141592...

e (base do logaritmo natural) = 2,71828183...

Se observarmos a parte decimal desses números, não encontraremos um padrão. Não há uma repetição de uma sequência numérica em toda sua expansão decimal.

Em relação à π é interessante que a sequência 314159, dos seis primeiros algarismos de π, aparece seis vezes nos primeiros 10 milhões de dígitos de sua expansão e a sequência 0123456789 não aparece nunca.

Analogamente, a sequência 271828 dos seis primeiros algarismos de e, base do logaritmo natural, ocorre oito vezes nos primeiros 10 milhões de dígitos de sua expansão decimal.

Quando tivermos uma normalidade na expansão de um número, este número será chamado de dízima periódica, pois há uma periodicidade, uma repetição de uma determinada sequência numérica. Por exemplo:

a) 1,324324324...

b) 0,0333...

Estes números pertencem ao conjunto dos números racionais, pois, nestes casos, conseguimos expressá-los através de uma fração. Esta fração é chamada de fração geratriz de uma dízima periódica. No entanto, sua representação decimal não é exata.

As dízimas periódicas podem ser classificadas como simples ou compostas.

 

Dízimas Periódicas Simples


Numa dízima periódica simples, o período (que é a sequência numérica que se repete) vem logo à direita da vírgula, por exemplo:

clip_image004

clip_image006

 

Dízimas Periódicas Compostas


Numa dízima periódica composta, entre a vírgula e o período existe um ou mais algarismos que não pertencem ao período (não se repetem), que é chamado de parte não-periódica, por exemplo:

clip_image008

clip_image010

Vamos, agora, ver como determinar uma fração geratriz de dízimas periódicas simples e compostas.

Vamos dividir as classes das dízimas em 3 casos para facilitar o andamento deste estudo:

· Simples com a parte inteira = 0

· Simples com a parte inteira > 0

· Compostas, onde existe uma parte não-periódica entre a vírgula e o período

 

1º Caso:


Determinação de uma fração geratriz de uma dízima periódica simples com a parte inteira = 0

1) Vamos determinar a fração geratriz da dízima 0,222... . Inicialmente, vamos chamar de x a fração geratriz. Então teremos:

clip_image012

A técnica utilizada para determinarmos a fração geratriz é de encontrar múltiplos convenientes de modo a eliminar a parte decimal infinita. Vejam:

clip_image014

Se o período da dízima for composto de apenas 1 algarismo, então multiplicamos (1) por 10. Vejam a associação: 1 algarismo = 1 zero.

Multiplicamos (1) por 10, logo:

clip_image016

Podemos desmembrar o segundo membro como:

clip_image018

Substituímos (1) em (2) e obtemos:

clip_image020

clip_image022

clip_image024

2) Vamos, agora, encontrar a fração geratriz de uma dízima cujo período é composto pro dois algarismos, por exemplo 0,121212... . Aplicamos a mesma técnica de encontrarmos múltiplos, para assim, eliminarmos a parte decimal infinita. Fazemos:

clip_image026

Se o período da dízima for composto por 2 algarismos, então multiplicamos (4) por 100. Vejam a associação: 2 algarismos = 2 zeros.

Então multiplicamos (4) por 100:

clip_image028

Desmembramos o segundo membro assim:

clip_image030

Substituímos (4) em (5):

clip_image032

clip_image034

clip_image036

 

2º Caso:


Determinação de uma fração geratriz de uma dízima periódica simples com a parte inteira > 0

A técnica utilizada aqui é a mesma do caso anterior, só temos que considerar que a parte inteira é maior que zero.

3) Vamos determinar a fração geratriz da dízima 1,444..., cuja parte inteira é 1 e o período é 4 (1 algarismo). Fazemos:

clip_image038

Como o período é composto de 1 algarismo, multiplicamos (7) por 10:

clip_image040

Desmembramos o segundo membro:

clip_image042

Vejam aqui a sutileza: para separarmos a parte decimal infinita, fazemos:

clip_image044

Substituímos (7) em (8):

clip_image046

clip_image048

clip_image050

4) Vamos, agora, determinar a fração geratriz da dízima periódica 1,484848..., cuja parte inteira é igual a 1 e o período é igual a 48 (2 algarismos). Fazemos:

clip_image052

Multiplicamos (10) por 100:

clip_image054

Desmembramos o segundo membro:

clip_image056

(Vejam que fizemos 148,484848.. – 1,484848.. para encontrarmos 147)

Substituímos (10) em (11):

clip_image058

clip_image060

clip_image062

 

3º Caso:


Determinação de uma fração geratriz de uma dízima periódica composta

Aqui envolveremos as dízimas compostas com parte inteira qualquer. Para a determinação das frações geratrizes, utilizamos o mesmo princípio de encontrar múltiplos convenientes. Notem que, após obtermos o primeiro múltiplo de uma dízima periódica composta, encontraremos uma dízima simples onde aplicaremos novamente a técnica dos múltiplos.

5) Como exemplo, vamos determinar a fração geratriz de 0,1555...

clip_image064

Aqui, a parte não periódica (encontrada entre a vírgula e a parte periódica) é composta por 1 algarismo, então, multiplicamos (13) por 10:

clip_image066

clip_image068

Vejam que com a técnica de obter múltiplos, encontramos uma dízima simples dentro da original. Podemos reescrever (14) como:

clip_image070

onde y = 0,555...

Já sabemos como determinar a fração geratriz de uma dízima simples pelo método dos múltiplos, então temos:

clip_image072

clip_image074

clip_image076

clip_image078

clip_image080

Agora, substituímos (17) em (15):

clip_image082

clip_image084

clip_image086

6) Agora que já sabemos determinar uma fração geratriz de uma dízima periódica composta, vamos determinar a mesma fração da dízima 0,1555... através de um dispositivo prático (múltiplos) evitando mudanças de variáveis. Seja a dízima 0,155...:

clip_image088

Primeiramente, se observarmos a parte não periódica, veremos que é contida de 1 algarismo. Então o primeiro múltiplo de (19) será obtido multiplicando-a por 10:

clip_image090

O segundo múltiplo de (19) será dado em função da quantidade de algarismos da parte não periódica somado à parte periódica, ou seja, a quantidade de algarismos depois da vírgula até o fim do período. No caso da dízima 0,1555..., temos 2 algarismos (1 e 5). Logo, multiplicamos (19) por 100:

clip_image092

clip_image094

Substituímos (20) em (21):

clip_image096

clip_image098

clip_image100

Vejam que, se ao invés de substituirmos (20) em (21), subtraíssemos (20) de (21), obteríamos o mesmo resultado:

clip_image102

clip_image098[1]

clip_image104

7) Vamos determinar agora a fração geratriz da dízima periódica 1,06818181...

clip_image106

A parte não periódica tem 2 algarismos, logo o primeiro múltiplo e (23) será:

clip_image108

A parte periódica também tem dois algarismos. Somando com a quantidade de algarismos da parte não periódica, obtemos 4 algarismos. Logo, o segundo múltiplo de (23) será:

clip_image110

Fazemos (25) – (24):

clip_image112

clip_image114

clip_image116

8) Passando para um exemplo mais complexo, vamos determinar a fração geratriz da dízima periódica 2,196428571428571...

A parte não periódica contém 3 algarismos (196)

A parte periódica contém 6 algarismos (428571)

Então temos:

clip_image118

clip_image120

clip_image122

Subtraímos (28) de (29):

clip_image124

clip_image126

Lembrem-se que o segredo está em eliminar a parte decimal infinita e só conseguimos isso empregando o método dos múltiplos!


Veja mais:

Breve Cronologia de PI
Demosntração de Número Irracional
A História do Símbolo do Infinito

Redes Sociais

Arquivo do Blog