30 de set de 2010

Construção de um Decágono Regular com Régua e Compasso

Esta construção foi elaborada por mim quando estava brincando com o software Régua e Compasso. Provavelmente não seja inédita, mas não encontrei nenhuma fonte que mostre tal construção.

Para esta construção, inicie com uma circunferência C1 com centro em O:

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Trace o diâmetro horizontal e marque como A a intersecção com a circunferência C1 no lado direito:

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Trace o diâmetro vertical, perpendicular ao horizontal, em O e marque como K a intersecção com a circunferência C1 no lado inferior:

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Trace a mediatriz do segmento AO e marque como M a intersecção com o diâmetro horizontal:

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Com centro em M e raio MK, descreva a circunferência C2 e marque como L a intersecção com o prolongamento do diâmetro OA:

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O segmento AL é o tamanho dos lados do decágono. Agora, com raio AL descreva uma circunferência com centro em A e marque como B a intersecção com a circunferência C1:

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Analogamente, descrevemos outras circunferências de raio AL e centros em A, ,B, C, D, E, F, G, H, I e marcamos as intersecções com a circunferência C1 como C, D, E, F, G, H, I, J:

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O decágono regular é gerado pela união dos pontos A, B, C, D, E, F, G, H, I e J:

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Veja mais:

Construções Geométrica Utilizando Régua e Compasso

28 de set de 2010

Porque as Porcas são Sextavadas?

image Você já parou para pensar porque as porcas são sextavadas e não formadas por um outro polígono como pentágono, octógono ou mesmo um decágono? É certo que encontramos porcas em formato quadrado, mas a escolha por fabricar uma porca no formato hexagonal não é por acaso e, neste post, vou mostrar porque uma porca neste formato é mais eficiente.

Considere a figura 1:

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[Figura 1]

Ao girarmos a chave no sentido horário, estamos apertando a porca e para que o vértice B do hexágono (que representa a porca) chegue até a posição do vértice A, a chave descreve um arco com ângulo de θ = 60°.

Se considerarmos o hexágono inscrito a uma circunferência de raio r, podemos calcular o comprimento do arco descrito no deslocamento do vértice B para A:

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[Figura 2]

Sabemos que o comprimento de uma circunferência é dado por C = r e equivale aos 360° da circunferência. Se quisermos descobrir somente o comprimento de um dado arco, em nosso caso um arco formado por um ângulo interno de 60°, fazemos:

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Esta é uma regra de três simples e resolvemos da seguinte forma:

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Já para uma porca em formato quadrado, o ângulo θ = 90° e, consequentemente, o arco descrito pelo vértice B ao girarmos a chave no sentido horário, para que alcance a posição do vértice A, também será de 90°:

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[Figura 3]

Analogamente ao que foi feito para encontrarmos o comprimento do arco gerado pelo deslocamento do vértice B até para o ângulo de 60°, fazemos:

clip_image006[1]

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Aqui, observamos que o comprimento do arco dado em (1) é menor do que o dado em (2). Mas o que isso quer dizer? Bem, o esforço é menor, já que o deslocamento da chave gera um arco de menor tamanho. Isso na prática é muito importante, pois há lugares de acesso restrito às porcas em equipamentos, motores, etc. e a questão de ter que girar a chave apenas 60° ao invés de 90° para que se possa encaixar novamente a boca da chave na porca é fundamental.

Então você me pergunta: porque, então, as porcas não são octogonais ou mesmo decagonais já que teríamos o ângulo θ menor?

image [Figura 4]

A resposta é simples: vejam que quanto mais aumentamos o número de lados do polígono, o comprimento do lado diminui e a área de contato da chave diminui perdendo sua eficiência, acontecendo o chamado “espanar”. Vejam que quanto maior o número de lados, mais o polígono assemelha-se a um circunferência:

image

[Figura 5]

Matematicamente falando, quando o número de lados n de um polígono regular tende ao infinito, o polígono tende a uma circunferência.


Veja mais:

Mais Curiosidades
Demonstração da Área do Círculo
Transformações de Áreas


23 de set de 2010

A Contradição Infinitesimal

Retornando às origens do cálculo infinitesimal, da relação $y=x^2$ entre variáveis, deseja-se calcular o acréscimo $dy$ da variável $y$ quando $x$ sofre uma alteração infinitamente pequena $dx$. Calcula-se então:

$$y+dy=(x+dx)^2$$

Ou seja:

$$dy=2xdx+dx^2$$

Conclui-se, assim, que $dy=2xdx$, pois se pode desprezar $dx^2$ como o quadrado de um infinitamente pequeno. Para o cálculo infinitesimal, assim, o diferencial de $x^2$ é $2xdx$.

Isso parece ser uma “equação imperfeita”. Contudo, como o conceito de quantidade infinitamente pequena não está claramente definido, não se sabe ao certo até que ponto existe realmente um erro.

“Infinitamente pequeno” para os matemáticos que elaboram esse cálculo, significa “menor do que qualquer quantidade finta dada”. Na verdade, todos concordam que a própria noção de quantidade real inclui a chamada “propriedade arquimediana”: enquanto uma quantidade positiva não for nula, pode-se sempre encontrar outra quantidade $1/n$ (em que $n$ é um número natural não-nulo) menor do que ela. Uma quantidade não pode, assim, ser “menor do que toda quantidade finita dada”. Dito de outra maneira, um número real positivo (diferente de zero) não pode ser infinitamente pequeno no sentido estrito: é fácil produzir outro número ainda menor.

No entanto, os pioneiros desenvolveram um cálculo que utiliza certas quantidades desse tipo, ao mesmo tempo em que despreza outras. Apesar dos problemas de fundamentação, esse cálculo aparece por toda parte na matemática, e permite elaborar e resolver equações diferenciais usadas na descrição de diferentes fenômenos. Deve haver, portanto, alguma racionalidade por trás do uso dos infinitamente pequenos e das “equações imperfeitas”.

A concepção de infinito surgida com a teoria dos conjuntos elimina essas contradições ao traduzir para sua linguagem o discurso dos pioneiros. Assim, a equação citada anteriormente:

$$dy=2dx+dx^2$$

torna-se:

$$dy=f(x+dx)-f(x)=2xdx+dx^2$$

em que $f$ é um símbolo para a função que associa a $x$ o seu quadrado $x^2$. Considera-se essa uma equação exata, em que $dx$ é uma quantidade ordinária, finita. Dividindo seus membros por $dx$, obtemos:

$$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{f(x+dx)-f(x)}{dx}=2x+dx$$

Constatamos agora que “quando $dx$ tende a zero, a taxa de crescimento $dy/dx$ tende a $2x$”. Não é mais $2xdx$ que corresponde a $dy$, é $dy/dx$ que tende a $2x$.

Dizer que a taxa de crescimento tende ao número $h$ significa que sua diferença em relação a $h$, em valor absoluto, pode tornar-se tão pequena quanto se deseje, desde que se escolha um $dx$ suficientemente pequeno. Essa definição em termos de controle costuma satisfazer aos matemáticos. Do ponto de vista da fundamentação, contudo, surge uma dificuldade. Essa propriedade de convergência envolve a resolução de uma infinidade de pequenos problemas, colocados para cada grau de pequenez que se deseje obter. Mais especificamente, ela é a propriedade de um objeto (certa função) que se supõe bem definido, mas que envolve uma aplicação do conjunto dos número reais (que é infinito) sobre si próprio.

Assim, a interpretação moderna do discurso dos pioneiros consegue salvá-lo das equações imperfeitas ao eliminar a referência a uma quantidade duvidosa. Em vez de uma quantidade infinitamente pequena, porém, surge uma quantidade “simplesmente” infinita.

Referências:

[1] Revista Scientifc American Edição Especial Nº 15 – As Diferentes Faces do Infinito


Veja mais:
A História do Símbolo do Infinito
As Curvas Contínuas sem Derivadas
O Cálculo de Isaac Newton no Blog Fatos Matemáticos
O Cálculo de Leibniz no Blog Fatos Matemáticos

22 de set de 2010

Volume de um Segmento Esférico

Segmento esférico é a região limitada por dois planos paralelos que seccionam uma esfera, gerando um sólido com duas bases circulares de raios R1 e R2.

image [Figura 1]

Esses planos ao interceptarem o eixo da esfera, geram os pontos x1 e x2 e a altura h do segmento esférico é dada pela distância entre as bases:

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Para esta demonstração utilizaremos o cálculo integral e provaremos que o volume do segmento esférico é dado por:

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Notem que, se x1 = – R e x2 = R, então h = 2R e o segmento esférico é a própria esfera:

clip_image006

Vejam também que, se x2 = 0, então o segmento esférico é uma calota esférica:

clip_image002

Vamos à demonstração:

Partindo do princípio para o cálculo do volume da esfera, temos a função f (x) originada da equação da circunferência:

clip_image010

Vejam o desenvolvimento completo acessando o link para o Volume da Esfera.

Suponha, então, que o segmento esférico de altura h é formado por infinitos cilindros de alturas infinitesimais dx e raios y, onde y é variável para cada ponto de h:

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[Figura 2]

Sabemos que o volume do cilindro é dado pelo produto da área da base pela altura:

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E neste caso:

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A soma destes infinitos cilindros de alturas infinitesimais forma o segmento esférico nos limites x1 e x2. Então, seu volume será dado por:

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Substituímos (5) na relação acima e obtemos:

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Integrando em relação a x, obtemos:

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Aplicando os limites:

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No entanto:

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e

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Substituindo (9) e (10) em (8), obtemos:

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Observando a figura 1, podemos destacar a figura abaixo:

image

[Figura 3]

Pelo Teorema Pitagórico, temos que:

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e

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E, também, pelo produto notável, temos:

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Mas vejam que, da equação (9), obtemos:

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Substituindo em (14):

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Agora, podemos substituir as relações (12) e (13) em (15):

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Retomando a relação do Volume dada em (11), fazemos a substituição das relações (12), (13) e (16), obtendo:

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Vejam que (17) é a mesma fórmula dada em (2) que queríamos demonstrar.

Quero deixar meu agradecimento ao Professor Paulo do Blog Fatos Matemáticos pela idéia e parte do desenvolvimento deste post. Aproveitem e visitem seu blog!


Veja mais:

Volume de uma Calota Esférica
Demonstração da Fórmula do Volume da Esfera
Demonstração da Fórmula da Área da Esfera
Sobre a Esfera e o Cilindro
O Princípio de Cavalieri
A Área de um Seguimento Esférico (Arquimedes) no blog Fatos Matemáticos
Uma Média Geométrica entre as Áreas da Esfera, do Cilindro e do Cone no blog Fatos Matemáticos

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