29/08/2010

Construção de um Pentágono Regular com Régua e Compasso (Parte III)

Neste post vou mostrar uma terceira maneira de construir um pentágono regular utilizando régua e compasso. Para ver as construções anteriores, clique em Parte I e Parte II.

Para esta construção, comece traçando um segmento de reta AB que será o lado do pentágono:

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Com centro em A, descreva uma circunferência de raio AB:

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Trace uma perpendicular ao segmento AB em A e marque a intersecção com a circunferência C1 como F:

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Trace a mediatriz do segmento AB e marque como M sua intersecção:

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Com centro em M, descreva a circunferência C2 com raio MF, e marque como Q a intersecção com o prolongamento de AB:

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Com centro em A, descreva a circunferência C3 de raio AQ e marque como D a intersecção com a mediatriz de AB:

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Com centro em B, descreva a circunferência C4 de raio BD e marque como E a intersecção com a circunferência C1:

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Com centro em B, descreva a circunferência C5 com raio BA e marque como C a intersecção com a circunferência C3:

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O pentágono é formado pela união dos pontos A, B, C, D e E:

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Veja mais:

Construção de um Pentágono Regular com Régua e Compasso (Parte I)

Construção de um Pentágono Regular com Régua e Compasso (parte II)

Demonstração da área do pentágono

Transformação de áreas


28/08/2010

Construção de um Pentágono Regular com Régua e Compasso (Parte II)

Já vimos no post anterior uma construção de um pentágono regular utilizando régua e compasso. Aqui vou mostrar outro método para construir um pentágono:

Comece descrevendo uma circunferência com o compasso com centro em O:

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Trace, agora, dois seguimentos de retas perpendiculares entre si, interceptando-se no centro O da circunferência. Nas intersecções com a circunferência, marque os pontos E, F e G:

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Trace a mediatriz H do segmento OF:

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Com centro em H, descreva uma circunferência de raio HE e marque a intersecção com o segmento OG como I:

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Chegamos a um ponto importante da construção: veja que o seguimento EI é o comprimento do lado do pentágono:

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Abra o compasso e posicione a ponta seca em D. Descreva uma nova circunferência com raio EI e marque a intersecção com a primeira circunferência como A:

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Analogamente, faça novas circunferências de raio EI marcando os pontos de intersecção como B, C e D:

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Unindo os pontos D e E, formamos o pentágono ABCDE:

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Em breve farei nova postagem sobre outra forma de construir um pentágono regular.


Veja mais:

Construção de um Pentágono Regular com Régua e Compasso (Parte I)

Demosntração da área do pentágono

Transformação de áreas


Construção de um Pentágono Regular com Régua e Compasso (Parte I)

Nesta primeira série de construções geométricas utilizando régua e compasso, vou mostrar como construir um pentágono regular. Vejam que há vários modos de construí-lo e vou tentar mostrar outros métodos em outros posts.

Comece com um segmento de reta AB que será o lado do pentágono:

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Com centro em A, faça uma circunferência de raio AB:

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Com centro em B, faça uma circunferência de raio BA. Marque os pontos de intersecção entre as duas circunferências como F e G:

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Com centro em G, faça uma terceira circunferência de raio GA. Note que o raio GA = GB = AB. Marque os pontos de intersecção com as outras duas circunferências como H e I:

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Pelos pontos F e G trace uma reta, marcando o ponto J na intersecção com a terceira circunferência. Essa reta será a mediatriz do lado AB do pentágono:

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Trace uma reta passando pelos pontos H e J, definindo o ponto C na intersecção com a segunda circunferência:

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Agora, trace uma reta passando pelos pontos I e J, definindo o ponto E na intersecção com a primeira circunferência:

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Com centro em E faça uma nova circunferência de raio AB = EA. Agora, faça outra circunferência com centro em C e raio AB = CB. O ponto de intersecção dessas duas circunferências com a mediatriz define o ponto D:

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Os pontos A, B, C, D e E, são os vértices do pentágono. Unindo estes pontos, formamos o pentágono regular:

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Em breve farei outra postagem com uma outra maneira de construir um pentágono regular.


Veja mais:

Demosntração da área do pentágono

Transformação de áreas


25/08/2010

O “Peso” de uma Distância

image Uma curiosidade como essa só podia ser obra de Malba Tahan. Seu jeito peculiar de expor um problema entretem qualquer calculista. Este texto pode ser encontrado em seu livro As Maravlhas da Matemática, primeira edição, página 135.

Mas como pesar uma distância? Já que o quilograma e o metro são unidades de medidas de diferentes grandezas? Pois bem, a incansável mente de Malba Tahan foi capaz de descobrir um modo de “calculá-la”. Vejam seu raciocínio:

A luz, percorre cerca de 300.000km/s (Velocidade da luz no vácuo é de 299.776km/s), vejam que em 1 segundo a luz dá 7 vezes e meia a volta na Terra. A distância percorrida pela luz durante um ano denomina-se ano-luz, que por sua vez :

1 ano luz = 9,4605284 × 1015 metros

Para que se possa ter uma idéia da grandeza representada pelo ano-luz, façamos a comparação: 1m de fio (aquela linha comum de máquina, nº 40) pesa 403 miligramas. Se aplicarmos uma regra de três simples obtermos:

1 ano luz = 9,4605284 × 1015 metros

1 metro de fio = 0,000403kg

Um fio que tivesse 1 ano-luz de extensão teria o peso de 3.812.592.945 toneladas!

O transporte desse fio só poderia ser feito num trem que tivesse 190.629.647 carros, transportando, cada carro, 20 toneladas de fio!

Os carros desse trem, colocados em fila, formariam uma composição com um comprimento aproximadamente igual ao dobro da distância Terra-Lua.

Temos, assim, o peso de uma distância, ou melhor, uma distância de peso!

Fonte: Malba Tahan

As Maravilhas da Matemática

23/08/2010

EDO: Queda dos Corpos com Resistência do Ar

image Geralmente tratamos problemas de Física desprezando a resistência do ar para facilitar nossos cálculos. No entanto, essa resistência existe e, aqui, vamos ver uma equação diferencial para a queda de corpos considerando a resistência do ar.

Consideremos um corpo de massa m em queda livre vertical, onde atuam somente a força da gravidade g e a resistência do ar proporcional à velocidade do corpo. Precisamos admitir que tanto a gravidade como a massa deste corpo permaneçam constantes durante a queda.

Já vimos em outro artigo deste blog que, para corpos em queda livre, devemos adotar um sentido (para baixo ou para cima) como positivo. Convenientemente, vamos adotar o sentido para baixo como sendo sentido positivo.

Segundo a Segunda Lei de Newton: A força resultante que atua sobre um corpo é igual à taxa de variação da quantidade de movimento (momentum) do corpo, ou, para uma massa constante.

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onde F é a força resultante que atua sobre o corpo e v é a velocidade do corpo, consideradas no instante t.

Num corpo em queda livre, há duas forças atuando sobre ele: a primeira é a força da gravidade g, dada pelo peso p do corpo, que é igual a mg:

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A segunda força é devida à resistência do ar, dada por:

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é uma constante de proporcionalidade. O sinal negativo se dá pelo fato desta força estar atuando no sentido contrário à queda do corpo, se opondo à velocidade, atuando no sentido para cima.

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[Figura 1]

A força resultante será:

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Se substituirmos (4) em (1), obteremos:

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Agora, (5) é a equação de movimento do corpo. Para resolver esta equação, usamos a técnica de fator integrante dado por:

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Multiplicando (6) por (5), obtemos:

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Observe que o lado esquerdo de (7) é derivada da função:

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Pois:

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Assim, comparando (7) com (9), segue que:

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Ou seja,

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Usando o fato que v(0) = v0, segue que

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que é a velocidade em cada instante.

Vejam que, se k = 0, temos que a resistência do ar é desprezível e a equação (5) se reduz a:

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Se k > 0, a velocidade limite v1 é obtida fazendo dv / dt = 0, pois na há um equilíbrio da força da gravidade com a força devida ao atrito do ar. Assim:

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Uma observação importante é que as equações (5) e (11) são válidas somente se as condições dadas forem satisfeitas. Se a resistência do ar não for proporcional à velocidade e sim ao quadrado da velocidade.

Exemplo 1: Deixa-se cair um corpo de massa de 5kg de uma altura de 100m, com velocidade inicial zero. Supondo que não haja resistência do ar, determine:

a) A expressão da velocidade do corpo no instante t;

b) A expressão da posição do corpo no instante t;

c) O tempo necessário para o corpo atingir o solo.

Primeiramente adotamos o sistema de coordenada como na figura abaixo, sendo positivo o sentido para baixo.

image [Figura 2]

Como não há resistência do ar, usamos a equação (10):

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Esta é uma equação linear separável. Assim:

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a) Como v(0) = 0, segue que v(t) = gt

b) Para determinar a expressão da posição x no instante t, fazemos:

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Sendo x(0) = 0, segue que:

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c) Para x(t) = 100, temos:

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Se adotarmos g = 10m / s2, teremos:

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Quero deixar meu agradecimento para o Professor Paulo do Blog Fatos Matemáticos que contribuiu para o desenvolvimento deste artigo.


Veja mais:

Galileu e a queda dos corpos
Equação do Movimento, Queda Livre e Lançamento Vertical
O Que é Mais Rápido: Subir ou Descer? no Blog Pós-Graduando em Física
A velocidade Terminal de um Pára-Quedas no Blog Fatos Matemáticos

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