Geralmente tratamos problemas de Física desprezando a resistência do ar para facilitar nossos cálculos. No entanto, essa resistência existe e, aqui, vamos ver uma equação diferencial para a queda de corpos considerando a resistência do ar.
Consideremos um corpo de massa m em queda livre vertical, onde atuam somente a força da gravidade g e a resistência do ar proporcional à velocidade do corpo. Precisamos admitir que tanto a gravidade como a massa deste corpo permaneçam constantes durante a queda.
Já vimos em outro artigo deste blog que, para corpos em queda livre, devemos adotar um sentido (para baixo ou para cima) como positivo. Convenientemente, vamos adotar o sentido para baixo como sendo sentido positivo.
Segundo a Segunda Lei de Newton: A força resultante que atua sobre um corpo é igual à taxa de variação da quantidade de movimento (momentum) do corpo, ou, para uma massa constante.
onde F é a força resultante que atua sobre o corpo e v é a velocidade do corpo, consideradas no instante t.
Num corpo em queda livre, há duas forças atuando sobre ele: a primeira é a força da gravidade g, dada pelo peso p do corpo, que é igual a mg:
A segunda força é devida à resistência do ar, dada por:
é uma constante de proporcionalidade. O sinal negativo se dá pelo fato desta força estar atuando no sentido contrário à queda do corpo, se opondo à velocidade, atuando no sentido para cima.
[Figura 1]
A força resultante será:
Se substituirmos (4) em (1), obteremos:
Agora, (5) é a equação de movimento do corpo. Para resolver esta equação, usamos a técnica de fator integrante dado por:
Multiplicando (6) por (5), obtemos:
Observe que o lado esquerdo de (7) é derivada da função:
Pois:
Assim, comparando (7) com (9), segue que:
Ou seja,
Usando o fato que v(0) = v0, segue que
que é a velocidade em cada instante.
Vejam que, se k = 0, temos que a resistência do ar é desprezível e a equação (5) se reduz a:
Se k > 0, a velocidade limite v1 é obtida fazendo dv / dt = 0, pois na há um equilíbrio da força da gravidade com a força devida ao atrito do ar. Assim:
Uma observação importante é que as equações (5) e (11) são válidas somente se as condições dadas forem satisfeitas. Se a resistência do ar não for proporcional à velocidade e sim ao quadrado da velocidade.
Exemplo 1: Deixa-se cair um corpo de massa de 5kg de uma altura de 100m, com velocidade inicial zero. Supondo que não haja resistência do ar, determine:
a) A expressão da velocidade do corpo no instante t;
b) A expressão da posição do corpo no instante t;
c) O tempo necessário para o corpo atingir o solo.
Primeiramente adotamos o sistema de coordenada como na figura abaixo, sendo positivo o sentido para baixo.
[Figura 2]
Como não há resistência do ar, usamos a equação (10):
Esta é uma equação linear separável. Assim:
a) Como v(0) = 0, segue que v(t) = gt
b) Para determinar a expressão da posição x no instante t, fazemos:
Sendo x(0) = 0, segue que:
c) Para x(t) = 100, temos:
Se adotarmos g = 10m / s2, teremos:
Quero deixar meu agradecimento para o Professor Paulo do Blog Fatos Matemáticos que contribuiu para o desenvolvimento deste artigo.
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