28 de jul de 2010

O Código ISBN

$1$. Uma Breve História do $ISBN$

Na Terceira Conferência Internacional de Investigação e Racionalização do mercado do livro, que se realizou em Berlim, em novembro de $1966$, foi debatida a necessidade e a viabilidade de um sistema internacional de numeração para identificar livros.

Centenas de editores e distribuidores na Europa, na época, consideraram a adequação do uso de computadores para o processamento e controle de estoque, e ficou claro que, para alcançar um eficiente sistema automatizado seria essencial ter um número de identificação único que fosse utilizado por todo o mundo.
Código Barra ISBNO sistema adotado, que ficou conhecido como $ISBN$ (International Standard Book Number) foi aprovado em $1970$ e é regulamentado pela ISO (International Organization for Standardization).

Em quase todos os países do mundo é utilizado o sistema $ISBN$ para identificação de publicações, atribuindo um número único para cada edição.

$2$. A Estrutura

Até o fim de $2006$, o ISBN era composto por $10$ dígitos. A partir de $01$ de Janeiro de $2007$, passou a conter $13$ dígitos, para aumentar a capacidade do sistema, devido ao crescente número de publicações.

$3$. $ISBN$ $10$ dígitos

Um código $ISBN$ de $10$ dígitos é sempre precedido das letras $ISBN$ e é dividido em quatro partes de comprimento variável, que devem ser separadas por hífen.

Exemplo 1: $ISBN$ $85 – 212 – 0298 – 9$

Dentro do código, temos:

$3.1$ Identificador de Grupo, País ou Área Idiomática

A primeira seqüência do código identifica um país, região ou idioma participante no sistema $ISBN$. O Brasil faz parte do grupo de Língua Portuguesa e recebe o número $85$.

Todos os identificadores de grupo são atribuídos pela Agência Internacional do $ISBN$, em Berlim.

Do exemplo $1$ temos: $ISBN$ $85-\cdots$ 

$3.2$ Identificador de Editor

A segunda seqüência do código identifica um editor específico dentro de um grupo. Geralmente indica a exata identificação da editora e seu endereço.

Os prefixos de editoras são atribuídos pela Agência $ISBN$ do grupo responsável pela gestão do sistema $ISBN$ no país, região ou grupo idiomático onde o editor é baseado oficialmente.

Do exemplo $1$, temos: $ISBN$ $85–212–\cdots$

$3.3$ Identificador de Título

A terceira seqüência do código identifica uma edição específica de uma publicação de uma editora específica.

Do exemplo $1$, temos: $ISBN$ $85–212–0298–\cdots$

$3.4$ Dígito Verificador

A última seqüência do código é o dígito verificador de um $ISBN$. É calculado em um módulo com peso $11$. O dígito pode variar de $0$ a $9$ e no caso do número $10$ é representado por $X$.

Cada um dos nove primeiros dígitos do $ISBN$ (excluindo o dígito verificador) é multiplicado por um número variando de $10$ a $1$, somado os produtos juntamente com o dígito verificador e este resultado deve ser divisível por $11$ com resto $0$ para que o $ISBN$ seja válido.

Do exemplo $1$, temos: $ISBN$ $85–212–0298–9$

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Para verificarmos se o código $ISBN$ é um código válido, fazemos a divisão da soma dos produtos por $11$; se o resto desta divisão for zero, então o $ISBN$ é válido:
$$\frac{220}{11}=20\text{     ,com resto = 0}$$
Vemos que o código $ISBN$ acima é um código válido, pois o resto da divisão é zero.

O fato da soma dos produtos ser dividida por $11$ e não por um outro número qualquer vem da Teoria dos Números, pois estes algoritmos modulares só funcionam se o módulo for um número primo. Como nosso sistema de numeração tem base $10$, o primo mais próximo é o número $11$, o primeiro para o qual o sistema pode funcionar. Como o dígito verificador, ou dígito de controle é o complemento para $11$ da soma ponderada dos $9$ primeiros algarismos, este pode assumir o valor $10$, no entanto, o dígito verificador só tem $1$ algarismo e para cobrir esta possibilidade é utilizado o caractere $X$, representando o $10$.

A soma dos produtos do código $ISBN-10$ pode ser escrito sob a forma do somatório:
$$\sum_{\begin{matrix}
i=1\\
j=11-i
\end{matrix}}^{10}x_i\cdot p_j$$
onde $x_i$ são os algarismos do código $ISBN$ e $p_j$ é o peso que será multiplicado para cada algarismo do código.

Este algoritmo retorna um valor (resto) que é o verificador do $ISBN$. Podemos utilizar a função $\text{mod}$:
$$\left (10x_1+9x_2+8x_3+7x_4+6x_5+5x_6+4x_7+3x_8+2x_9+x_{10}\right ) \mod 11=0$$
$$\left (10x_1+9x_2+8x_3+7x_4+6x_5+5x_6+4x_7+3x_8+2x_9 \right ) \mod 11=x_{10}$$
Então, se a soma dos produtos de cada algarismo $x_i$ pelo peso $p_j$ dividido por $11$ for igual a zero, o $ISBN$ é um código válido.

$4$. ISBN $13$ dígitos

A partir de $1$ de Janeiro de $2007$, adotou-se o $ISBN-13$ dígitos, devido ao fato do crescente número de publicações, com suas edições e formatos.

O prefixo $978$ será adicionado ao código $ISBN$ e quando prefixo $978$ se esgotar, será dotado o prefixo $979$. Com isso, há uma codificação diferente e um novo cálculo é feito com os algarismos do código que agora é denominado como $ISBN-13$, tornando-se possível o uso do código de barras denominando EAN.

$4.1$ Dígito Verificador

Analogamente ao $ISBN-10$, para verificarmos se o $ISBN-13$ é um $ISBN$ válido, fazemos a multiplicação dos algarismos do código pelos algarismos de $13$, sequencialmente somamos os produtos e dividimos por $10$. Se o resto for zero, o $ISBN$ é válido.

Por exemplo, seja o $ISBN: 978 – 85 – 786 – 1063 – 0$, fazemos:

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Este algoritmo retorna um valor (resto) que é o verificador do $ISBN$. Podemos utilizar a função $\text{mod}$:
\begin{matrix}
(x_1+3x_2+x_3+3x_4+x_5+3x_6+x_7+3x_8+x_9+\\
3x_{10}+x_{11}+3x_{12}+x_{13})\mod {10}=0\\
\end{matrix}
\begin{matrix}
(x_1+3x_2+x_3+3x_4+x_5+3x_6+x_7+3x_8+\\
x_9+3x_{10}+x_{11}+3x_{12}) \mod {10}=x_{13}\\
\end{matrix}
Então, se a soma dos produtos de cada algarismo xi pelo peso $p_j$ dividido por $10$ for igual a zero, o $ISBN$ é um código válido.

Veja mais:

Agência Brasileira do ISBN
Agência Internacional do ISBN

25 de jul de 2010

Números de Smith

Smith Introdução

Um número de Smith é um número composto cuja soma S(N) dos algarismos deste número é igual à soma Sp(N) dos algarismos de seus fatores primos.

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Por exemplo: dado o número N = 27, vamos verificar se este é um número de Smith.

Somamos os algarismos de 27:

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O número 27 pode ser escrito na forma de produto entre seus fatores primos:

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A soma de seus fatores primos será:

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Verificamos que 27 é um número de Smith:

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Albert Wilansky, da Universidade de Lehigh, observou esta propriedade no número de telefone de seu irmão Harold Smith. O número é 4937775:

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O número 4937775 pode ser escrito na forma de produto entre seus fatores primos:

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Portanto:

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Wilansky constatou que existem 360 números de Smith menores que 10.000. No entanto, ele se enganou, pois na verdade, há 376 números de Smith menores que 10.000:

4, 22, 27, 58, 85, 94, 121, 166, 202, 265, 274, 319, 346, 355, 378, 382, 391, 438, 454, 483, 517, 526, 535, 562, 576, 588, 627, 634, 636, 645, 648, 654, 663, 666, 690, 706, 728, 729, 762, 778, 825, 852, 861, 895, 913, 915, 922, 958, 985, 1086, 1111, 1165, 1219, 1255, 1282, 1284, 1376, 1449, 1507, 1581, 1626, 1633, 1642, 1678, 1736, 1755, 1776, 1795, 1822, 1842, 1858, 1872, 1881, 1894, 1903, 1908, 1921, 1935, 1952, 1962, 1966, 2038, 2067, 2079, 2155, 2173, 2182, 2218, 2227, 2265, 2286, 2326, 2362, 2366, 2373, 2409, 2434, 2461, 2475, 2484, 2515, 2556, 2576, 2578, 2583, 2605, 2614, 2679, 2688, 2722, 2745, 2751, 2785, 2839, 2888, 2902, 2911, 2934, 2944, 2958, 2964, 2965, 2970, 2974, 3046, 3091, 3138, 3168, 3174, 3226, 3246, 3258, 3294, 3345, 3366, 3390, 3442, 3505, 3564, 3595, 3615, 3622, 3649, 3663, 3690, 3694, 3802, 3852, 3864, 3865, 3930, 3946, 3973, 4054, 4126, 4162, 4173, 4185, 4189, 4191, 4198, 4209, 4279, 4306, 4369, 4414, 4428, 4464, 4472, 4557, 4592, 4594, 4702, 4743, 4765, 4788, 4794, 4832, 4855, 4880, 4918, 4954, 4959, 4960, 4974, 4981, 5062, 5071, 5088, 5098, 5172, 5242, 5248, 5253, 5269, 5298, 5305, 5386, 5388, 5397, 5422, 5458, 5485, 5526, 5539, 5602, 5638, 5642, 5674, 5772, 5818, 5854, 5874, 5915, 5926, 5935, 5936, 5946, 5998, 6036, 6054, 6084, 6096, 6115, 6171, 6178, 6187, 6188, 6252, 6259, 6295, 6315, 6344, 6385, 6439, 6457, 6502, 6531, 6567, 6583, 6585, 6603, 6684, 6693, 6702, 6718, 6760, 6816, 6835, 6855, 6880, 6934, 6981, 7026, 7051, 7062, 7068, 7078, 7089, 7119, 7136, 7186, 7195, 7227, 7249, 7287, 7339, 7402, 7438, 7447, 7465, 7503, 7627, 7674, 7683, 7695, 7712, 7726, 7762, 7764, 7782, 7784, 7809, 7824, 7834, 7915, 7952, 7978, 8005, 8014, 8023, 8073, 8077, 8095, 8149, 8154, 8158, 8185, 8196, 8253, 8257, 8277, 8307, 8347, 8372, 8412, 8421, 8466, 8518, 8545, 8568, 8628, 8653, 8680, 8736, 8754, 8766, 8790, 8792, 8851, 8864, 8874, 8883, 8901, 8914, 9015, 9031, 9036, 9094, 9166, 9184, 9193, 9229, 9274, 9276, 9285, 9294, 9296, 9301, 9330, 9346, 9355, 9382, 9386, 9387, 9396, 9414, 9427, 9483, 9522, 9535, 9571, 9598, 9633, 9634, 9639, 9648, 9657, 9684, 9708, 9717, 9735, 9742, 9760, 9778, 9840, 9843, 9849, 9861, 9880, 9895, 9924, 9942, 9968, 9975, 9985.

Uma observação é que o suposto número da Besta 666 também é um número de Smith.

Os números de Smith podem ser classificados em vários tipos:

 

Número de Smith Semiprimo

Um número semiprimo ou biprimo é aquele que é composto pelo produto de dois números primos. Um número de Smith semiprimo são aqueles que obedecem à propriedade de um número de Smith e que são produtos entre dois números primos.

Por exemplo:

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Todos os números de Smith semiprimos menores que 104 são:

4, 22, 58, 85, 94, 121, 166, 202, 265, 274, 319, 346, 355, 382, 391, 454, 517, 526, 535, 562, 634, 706, 778, 895, 913, 922, 958, 985, 1111, 1165, 1219, 1255, 1282, 1507, 1633, 1642, 1678, 1795, 1822, 1858, 1894, 1903, 1921, 1966, 2038, 2155, 2173, 2182, 2218, 2227, 2326, 2362, 2434, 2461, 2515, 2578, 2605, 2614, 2722, 2785, 2839, 2902, 2911, 2965, 2974, 3046, 3091, 3226, 3442, 3505, 3595, 3622, 3649, 3694, 3802, 3865, 3946, 3973, 4054, 4126, 4162, 4189, 4198, 4279, 4306, 4369, 4414, 4594, 4702, 4765, 4855, 4918, 4954, 4981, 5062, 5071, 5098, 5242, 5269, 5305, 5386, 5422, 5458, 5485, 5539, 5602, 5638, 5674, 5818, 5854, 5926, 5935, 5998, 6115, 6178, 6187, 6259, 6295, 6385, 6439, 6457, 6502, 6583, 6718, 6835, 6934, 7051, 7078, 7186, 7195, 7249, 7339, 7402, 7438, 7447, 7465, 7627, 7726, 7762, 7834, 7915, 7978, 8005, 8014, 8023, 8077, 8095, 8149, 8158, 8185, 8257, 8347, 8518, 8545, 8653, 8851, 8914, 9031, 9094, 9166, 9193, 9229, 9274, 9301, 9346, 9355, 9382, 9427, 9535, 9571, 9598, 9634, 9742, 9778, 9895, 9985, ...

 

Número de Smith Palíndromo

Uma frase palíndroma, ou capicual, é aquela que lida da direita para esquerda ou vice-versa tem o mesmo sentido.

Os números, assim como letras, podem ser classificados como palíndromos. Dentre os números de Smith também são encontrados números de palíndromos. Por exemplo: 4, 22, 121, 202.

Todos os números de Smith Palíndromos menores que 106 são:

4, 22, 121, 202, 454, 535, 636, 666, 1111, 1881, 3663, 7227, 7447, 9229, 10201, 17271, 22522, 24142, 28182, 33633, 38283, 45054, 45454, 46664, 47074, 50305, 51115, 51315, 54645, 55055, 55955, 72627, 81418, 82628, 83038, 83938, 90409, 95359, 96169, 164461, 173371, 239932, 256652, 262262, 294492, 362263, 373373, 445544, 454454, 505505, 515515, 535535, 545545, 635536, 704407, 717717, 832238, 841148, 864468, 951159, 956659, 974479 e 983389.

 

Números de Smith Reversíveis

Um número reverso é aquele obtido pela inversão de seus algarismos. Por exemplo: 123 e 321 são números reversos.

Um número de Smith reversível é aquele cujo reverso também é um número de Smith. Por exemplo: 58 e 85.

Todos os números de Smith reversíveis menores que 104 são:

4, 22, 58, 85, 121, 202, 265, 319, 454, 535, 562, 636, 666, 913, 1111, 1507, 1642, 1881, 1894, 1903, 2461, 2583, 2605, 2614, 2839, 3091, 3663, 3852, 4162, 4198, 4369, 4594, 4765, 4788, 4794, 4954, 4974, 4981, 5062, 5386, 5458, 5539, 5674, 5818, 5926, 6295, 6439, 6835, 7051, 7227, 7249, 7438, 7447, 8158, 8185, 8347, 8518, 8545, 8874, 8914, 9229, 9346, 9355, 9382, 9427 e 9634.

Podemos perceber que os números palíndromos de Smith são casos particulares dos números de Smith reversíveis.

 

Números de Smith – Fibonacci

Os números de Fibonacci que também são números de Smith podem ser chamados de Números de Smith – Fibonacci. Durante os cálculos, foi observado que o menor número de Smith – Fibonacci é 1346369:

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Temos que:

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e

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Logo:

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Ainda há outros números de Smith – Fibonacci:

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Números de Smith Abundantes

Um número abundante todo número natural n cuja soma dos seus divisores próprios é superior a n. O primeiro número abundante é o 12, porque sendo os seus divisores próprios 1, 2, 3, 4 e 6, a soma destes é 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 > 12.

Se um número de Smith tem esta característica é chamado de número de Smith Abundante. Por exemplo, o número 438 é um número abundante, pois:

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Como vimos, a soma dos divisores de 438 é maior que ele próprio.

Todos os números de Smith abundantes menores que 104 são:

378, 438, 576, 588, 636, 648, 654, 666, 690, 728, 762, 852, 1086, 1284, 1376, 1626, 1736, 1776, 1842, 1872, 1908, 1952, 1962, 2286, 2484, 2556, 2576, 2688, 2934, 2944, 2958, 2964, 2970, 3138, 3168, 3174, 3246, 3258, 3294, 3366, 3390, 3564, 3690, 3852, 3864, 3930, 4428, 4464, 4472, 4592, 4788, 4794, 4880, 4960, 4974, 5088, 5172, 5248, 5298, 5388, 5526, 5772, 5874, 5936, 5946, 6036, 6054, 6084, 6096, 6188, 6252, 6344, 6684, 6702, 6760, 6816, 6880, 7026, 7062, 7068, 7674, 7764, 7782, 7784, 7824, 7952, 8154, 8196, 8372, 8412, 8466, 8568, 8628, 8680, 8736, 8754, 8766, 8790, 8792, 8874, 9036, 9184, 9276, 9294, 9296, 9330, 9396, 9414, 9522, 9648, 9684, 9708, 9760, 9840, 9880, 9924, 9942 e 9968.

 

Números de Smith Deficientes

Um número deficiente é todo número natural n cuja soma dos seus divisores próprios é inferior a n. O número 10 é um número deficiente, porque sendo os seus divisores próprios 1, 2, e 5, a soma destes é 1 + 2 + 5 = 8 < 10.

Se um número de Smith tem esta característica é chamado de número de Smith Deficiente. Por exemplo, o número 22 é um número deficiente, pois:

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Como vimos, a soma dos divisores de 22 é menor que ele próprio.

Todos os números de Smith deficientes menores que 104 são:

4, 22, 27, 58, 85, 94, 121, 166, 202, 265, 274, 319, 346, 355, 382, 391, 454, 483, 517, 526, 535, 562, 627, 634, 645, 663, 706, 729, 778, 825, 861, 895, 913, 915, 922, 958, 985, 1111, 1165, 1219, 1255, 1282, 1449, 1507, 1581, 1633, 1642, 1678, 1755, 1795, 1822, 1858, 1881, 1894, 1903, 1921, 1935, 1966, 2038, 2067, 2079, 2155, 2173, 2182, 2218, 2227, 2265, 2326, 2362, 2366, 2373, 2409, 2434, 2461, 2475, 2515, 2578, 2583, 2605, 2614, 2679, 2722, 2745, 2751, 2785, 2839, 2888, 2902, 2911, 2965, 2974, 3046, 3091, 3226, 3345, 3442, 3505, 3595, 3615, 3622, 3649, 3663, 3694, 3802, 3865, 3946, 3973, 4054, 4126, 4162, 4173, 4185, 4189, 4191, 4198, 4209, 4279, 4306, 4369, 4414, 4557, 4594, 4702, 4743, 4765, 4832, 4855, 4918, 4954, 4959, 4981, 5062, 5071, 5098, 5242, 5253, 5269, 5305, 5386, 5397, 5422, 5458, 5485, 5539, 5602, 5638, 5642, 5674, 5818, 5854, 5915, 5926, 5935, 5998, 6115, 6171, 6178, 6187, 6259, 6295, 6315, 6385, 6439, 6457, 6502, 6531, 6567, 6583, 6585, 6603, 6693, 6718, 6835, 6855, 6934, 6981, 7051, 7078, 7089, 7119, 7136, 7186, 7195, 7227, 7249, 7287, 7339, 7402, 7438, 7447, 7465, 7503, 7627, 7683, 7695, 7712, 7726, 7762, 7809, 7834, 7915, 7978, 8005, 8014, 8023, 8073, 8077, 8095, 8149, 8158, 8185, 8253, 8257, 8277, 8307, 8347, 8421, 8518, 8545, 8653, 8851, 8864, 8883, 8901, 8914, 9015, 9.031, 9.094, 9.166, 9.193, 9.229, 9.274, 9.285, 9.301, 9.346, 9.355, 9.382, 9.386, 9.387, 9.427, 9.483, 9.535, 9.571, 9.598, 9.633, 9.634, 9.639, 9.657, 9.717, 9.735, 9742, 9778, 9843, 9849, 9861, 9895, 9975 e 9985.

 

Números de Smith Quadrados

Um número de Smith que é um quadrado perfeitos pode ser denominado como número de Smith quadrado.

Todos os números de Smith quadrados menores que 107 são:

4, 121, 576, 729, 6084, 10201, 17424, 18496, 36481, 51529, 100489, 124609, 184041, 195364, 410881, 559504, 674041, 695556, 732736, 887364, 896809, 966289, 988036, 1038361, 1190281, 1238769, 1726596, 1852321, 2166784, 2975625, 3407716, 3613801, 3663396, 3849444, 3888784, 3892729, 4088484, 4309776, 4330561, 4809249, 4875264, 4888521, 5031049, 5225796, 5391684, 5438224, 5461569, 5527201, 5978025, 6517809, 6630625, 6635776, 6780816, 6864400, 6969600, 7059649, 7273809, 7717284, 7868025, 7946761, 8048569, 8567329, 8573184, 8608356, 9150625, 9455625, 9678321 e 9960336.

 

Números de Smith Cúbicos

Um número de Smith que é um cubo perfeito pode ser denominado como número d Smith cúbico.

Todos os números de Smith cúbicos menores que 1010 são:

27, 729, 19683, 474552, 7077888, 7414875, 8489664, 62099136, 112678587, 236029032, 246491883, 257259456, 279726264, 345948408, 463684824, 567663552, 638277381, 721734273, 766060875, 988047936, 1177583616, 1412467848, 2131746903, 2493326016, 2714704875, 3023464536, 3215578176, 3294646272, 3951805941, 4443297984, 4843965888, 4895680392, 6158676537, 8266914648, 8340725952, 8792838144 e 8831234763.

 

Números de Smith Triangulares

Um número triangular é um número natural que pode ser representado na forma de triângulo. Foi desenvolvido por Gauss em 1788 quando tinha apenas 10 anos.

*

*        *

*        *        *

Os primeiros números triangulares são: 1, 3, 6, 10, 15, 21, ...

O n-ésimo número triangular é dado por:

clip_image066

Os números de Smith também apresentam características triangulares e são denominados números de Smith triangulares.

Todos os números de Smith triangulares menores que 107 são:

378, 666, 861, 2556, 5253, 7503, 10296, 16653, 27261, 28920, 29890, 32896, 46056, 72771, 84255, 85905, 92235, 94395, 120786, 132870, 141778, 157641, 215496, 328455, 345696, 385881, 386760, 396495, 424581, 529935, 533028, 588070, 654940, 682696, 683865, 723003, 778128, 866586, 885115, 897130, 941878, 959805, 977901, 993345, 1082656, 1134771, 1234806, 1398628, 1457778, 1466328, 1495585, 1528626, 1570878, 1597578, 1633528, 1680861, 1792671, 1875016, 1876953, 1925703, 1931595, 1983036, 2087946, 2089990, 2137278, 2273778, 2351196, 2396955, 2458653, 2692360, 2828631, 2859636, 2890810, 2924571, 2968266, 3296028, 3378700, 3383901, 3451878, 3467661, 3579150, 3654456, 3733278, 3757911, 3904615, 3935415, 4119885, 4444671, 4710915, 4887501, 4925091, 5492955, 5586153, 5592840, 5815755, 6725278, 6984453, 7051890, 7486515, 7505875, 7536903, 7583565, 7850703, 7858630, 8090253, 8158780, 8211378, 8280415, 8284485, 8341570, 8390656, 8398851, 8485140, 8501626, 8982441, 9281586, 9359301, 9541896, 9651421 e 9677800.

 

Números de Smith Repdigit

Todos os números de Smith que possuem todos os algarismos iguais são denominados como números de Smith Repdigit. Todos os números de Smith repdigit menores que 1060 são:

4, 22, 666, 1111, 6666666, 4444444444, 44444444444444444444, 555555555555555555555555555, 55555555555555555555555555555555 e 4444444444444444444444444444444444444444444444444444444.

 

Números de Smith Consecutivos

Os números de Smith que são consecutivos também podem ser denominados como números de Smith consecutivos. Por exemplo: o par de números 728 e 729.

Todos os números de Smith consecutivos menores que 105 são:

(728, 729), (2964, 2965), (3864, 3865), (4959, 4960), (5935, 5936), (6187, 6188), (9386, 9387), (9633, 9634), (11.695 , 11696), (13764, 13765), (16536, 16537), (16591, 16592), (20784, 20785), (25428, 25429), (28808, 28809), (29623, 29624), (32696, 32697 ), (33632, 33633), (35805, 35806), (39585, 39586), (43736, 43737), (44733, 44734), (49027, 49028), (55344, 55345), (56336, 56337), (57663, 57664), (58305, 58306), (62634, 62635), (65912, 65913), (65974, 65975), (66650, 66651), (67067, 67068), (67728, 67729), (69.279 , 69280), (69835, 69836), (73615, 73616), (73616, 73617), (74168, 74169), (74298, 74299), (76495, 76496), (76911, 76912), (77385, 77386 ), (78744, 78745), (82488, 82489), (82640, 82641), (83744, 83745), (83928, 83929), (83937, 83938), (84759, 84760), (84882, 84883), (85135, 85136), (87362, 87363), (87855, 87856), (89743, 89744), (89904, 89905), (90228, 90229), (90872, 90873), (91255, 91256), (91.364 , 91365), (91488, 91489), (93275, 93276), (93471, 93472), (94094, 94095), (94184, 94185), (94584, 94585), (95277, 95278), (95984, 95985 ), (96151, 96152), (96921, 96922), (97915, 97916), (98022, 98023) e (98.900, 98.901).

Existem 615.885 números de Smith consecutivos menores que 109.

 

Números de Smith Triplos

Quando há três números de Smith que são consecutivos também podem ser denominados como números de Smith triplos. Por exemplo: o terno de números (73.615; 73.616; 73.617). Todos os números de Smith triplos menores que 106 são:

(73615, 73616, 73617), (209065, 209066, 209067), (225951, 225952, 225953), (283745, 283746, 283747), (305455, 305456, 305457), (342879, 342880, 342881), (656743, 656744, 656745), (683670, 683671, 683672), (729066, 729067, 729068), (747948, 747949, 747950), (774858, 774859, 774860), (879221, 879222, 879223) e (954590, 954591, 954592).

Existem 15.955 números de Smith triplos menores que 109.

 

Números de Smith Quádruplos

Quando há quatro números de Smith que são consecutivos também podem ser denominados como números de Smith quádruplos. O menor conjunto de números de Smith quádruplos é:

(4463535, 4463536, 4463537, 4463538)

Abaixo estão somente os menores números dos conjuntos de números de Smith quádruplos menores que 108 são:

4463535, 6356910, 8188933, 9425550, 11148564, 15966114, 18542654, 21673542, 22821992, 23767287, 28605144, 36615667, 39227466, 47096634, 47395362, 48072396, 54054264, 55464835, 57484614, 57756450, 57761165, 58418508, 61843387, 62577157, 64572186, 65484066, 66878432, 67118680, 71845857, 75457380, 77247606, 78432168, 88099213, 89653781, 90166567 e 92656434.

Existem 384 números de Smith quádruplos menores que 109.

 

Números de Smith Quíntuplos

Quando há cinco números de Smith que são consecutivos também podem ser denominados como números de Smith quíntuplos. O menor conjunto de números de Smith quádruplos é:

(15966114, 15966115, 15966116, 15966117, 15966118)

Abaixo estão somente os menores números dos conjuntos de números de Smith quíntuplos menores que 109:

15966114, 75457380, 162449165, 296049306, 296861735, 334792990, 429619207, 581097690, 581519244, 582548088, 683474015, 809079150, 971285861 e 977218716.

Existem 14 números de Smith quíntuplos menores de 109.

 

Números de Smith Quíntuplos

Quando há cinco números de Smith que são consecutivos também podem ser denominados como números de Smith quíntuplos. O menor conjunto de números de Smith quádruplos é:

(15966114, 15966115, 15966116, 15966117, 15966118)

 

Números de Smith – k

Se existir k números de Smith consecutivos, estes podem ser denominados como números de Smith – k.

Você é capaz de encontrar o menor conjunto dos números de Smith – 6?


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23 de jul de 2010

Torque

Do ponto de vista cinemático, pode-se fazer uma analogia entre as grandezas lineares e angulares:

clip_image002[4]

clip_image004[4]

Esta analogia é útil para se encontrar uma grandeza análoga à força na dinâmica das rotações. O análogo para a força para rotações é o torque .

Utilizando o trabalho W como forma de encontrar o análogo à força para rotações, tem-se que, para deslocamentos infinitesimais, numa grandeza linear o trabalho dado por:

clip_image002[6]

onde:

• ΔW é a variação do trabalho;

• Δx é o deslocamento;

clip_image002[22]é a força aplicada.

Analogamente, para rotações têm-se:

clip_image002[8]

onde:

• ΔW é a variação do trabalho;

• Δθ é a rotação;

clip_image002[26] é o torque.

Considerando a figura 1, o ponto P gira em torno do centro O a uma distância r devido à aplicação de uma força clip_image002[28] em P, formando um ângulo φ com a direção de clip_image002[30]:

[Figura 1: Esquema representativo do torque]

A distância da linha de ação PQ da força em relação ao centro O é chamada de braço de alavanca e é dado por clip_image002[32].

Para um deslocamento infinitesimal de P para P’ é mais eficaz uma força clip_image002[34] perpendicular a r em P para provocar uma rotação, pois se b é tão pequena quanto se queira, a força clip_image002[36] se projeta na direção de clip_image002[38], tornando-se paralela e sem efeito na rotação.

A projeção de clip_image002[40] na direção de clip_image002[42] é dada por:

clip_image002[10]

O deslocamento infinitesimal clip_image002[46] se confunde com a tangente do círculo de raio r em P, portanto:

clip_image002[12]

Substituindo (3) e (4) em (1), tem-se:

clip_image002[14]

Substituindo (2) em (5), tem-se:

clip_image002[52]

Portanto:

clip_image002[18]

Pela álgebra vetorial temos que o produto vetorial entre dois vetores gera um terceiro vetor ortogonal aos dois primeiros, definido por:

clip_image002[20]

Comparando (6) com (7), tem-se:

clip_image002[22]

Portanto:

clip_image002[26]

O vetor clip_image002[62] definido em (8) é o torque da força clip_image002[64] em P em relação ao centro O. Portanto, torque é uma medida de quanto uma força age sobre um determinado corpo de modo a fazê-lo girar em torno de seu eixo.

A medida da eficiência de uma força, no que se refere à tendência de fazer um corpo girar em relação a um ponto fixo, chama-se momento da força em relação a esse ponto. O momento de força depende somente da intensidade da força e do braço de alavanca.

O conceito de momento de força, ou torque, é utilizado freqüentemente em nosso cotidiano. Por exemplo: ao fechar uma porta empurrando-a pela extremidade oposta ao eixo de rotação, a força aplicada será menor do que a aplicada num ponto próximo ao eixo de rotação para obter o mesmo efeito. Portanto, quanto maior for a distância da força aplicada ao eixo de rotação, maior será o momento de força, ou seja, maior será o efeito que ela produz.


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