30 de jun de 2010

Medidas de Tempo

Da mesma forma que uma régua permite medir distâncias marcando intervalos iguais de comprimento, um relógio é qualquer instrumento que permita medir o tempo, marcando intervalos de tempo iguais.

Qualquer fenômeno periódico, ou seja, que se repete sem alteração cada vez que transcorre um intervalo de tempo determinado (período), pode em princípio ser associado com um relógio. Assim um dos “relógios” mais antigos foi provavelmente associado com o nascer do Sol, definindo o intervalo de um dia. Galileu utilizou como relógio as suas pulsações (batimentos cardíacos).

Como sabemos que os intervalos de tempo marcados por um relógio são efetivamente iguais? A resposta é que não sabemos. Não adianta invocarmos a sensação subjetiva da passagem do tempo (tempo psicológico), que está associado a um “relógio biológico”, definido pelo ritmo de nosso metabolismo. Sentimos o tempo passar bem mais depressa em companhia de uma pessoa atraente do sexo oposto do que numa sala de aula, por exemplo! Sabemos também que os dias medidos do nascer do sol têm duração variável conforme as estações.

Tudo que podemos fazer é comparar relógios diferentes e decidir, através de tais comparações e de argumentos teóricos sobre as leis que governam o fenômeno periódico, qual relógio merece maior grau de confiança. Assim, ao definir a duração do dia pelo período de rotação da Terra, temos a possibilidade de comparar este movimento periódico com outros “relógios” astronômicos: os períodos de rotação da Terra em torno do Sol, da Lua em torno da Terra, de Mercúrio e Vênus em torno do Sol, dos satélites de Júpiter em torno do planeta. Observações muito precisas mostraram concordância destes outros “relógios” entre si e pequenas discrepâncias com a rotação da Terra, levando à conclusão de que esta rotação é sujeita a pequenas irregularidades, da ordem de uma parte em 108. Um dos fatores responsáveis por elas é o efeito de atrito associados com as marés.

Relógio de sol

[Figura 1: Relógio de Sol]

Atribuindo agora à palavra “relógio” o sentido específico de um instrumento construído para medida do tempo, os relógios mais antigos conhecido são os relógios de sol, que ainda são encontrados em nossos dias ornamentados jardins. Os mais simples deles baseiam-se no comprimento da projeção da sombra de uma estaca sobre uma escala graduada, O quadrante solar, um pouco mais elaborado, projeta a sombra de um ponteiro sobre um quadrante graduado. Os relógios solares apresentam o inconveniente de só poderem funcionar durante o dia e de marcarem horas não muito iguais.

No antigo Egito e Babilônia já eram empregados “relógios de água” (clepsidras), baseados no escoamento de um filete de água, através de um pequeno orifício no fundo de um recipiente, para outro recipiente contendo uma escala graduada:

Relógio de água

[Figura 2: Relógio de água]

Um dispositivo semelhante foi utilizado por Galileu em experiências básicas de mecânica. Os “relógios de areia” (ampulhetas), baseados num princípio análogo também são empregados até hoje.

Nenhum método mais preciso de medir pequenos intervalos de tempo era conhecido até 1581, quando Galileu, comparando as oscilações de um lustre da Catedral de Pisa com o ritmo de seu pulso, descobriu o isocronismo das oscilações do pêndulo, ou seja, que o período das oscilações permanecia o mesmo, embora a sua amplitude fosse diminuindo (Galileu, que naquela época tinha 17 anos e era estudante de medicina, aplicou logo esse resultado em sentido inverso, construindo um “pulsômetro”, pêndulo de comprimento padrão destinado a tomar o pulso dos pacientes em hospitais). A partir dessa época, começaram a ser construídos relógios de pêndulo, acionados por pesos, e também relógios acionados por uma mola espiral, antecessores dos atuais.

O estímulo principal para a construção de relógios mais precisos veio do problema da determinação da longitude. Este problema se reduz diretamente ao de comparar a “hora local” com a hora de “Greenwich”. Como a Terra gira em torno de seu eixo de 360° em 24 horas, uma variação de 1 hora da data local corresponde a um deslocamento de 15° de longitude (=360° / 24), ou seja, cada grau de longitude equivale a uma variação de 4 minutos da hora local. Levando em conta o sentido de rotação da Terra (do Oeste para o Leste), vemos, por exemplo, que, quando é meio-dia em Greenwich, a hora loca verdadeira em São Paulo (longitude 46°39’O) é alguns minutos antes das nove horas da manhã (para fins práticos, toma-se a mesma hora local convencional em todos os pontos de um mesmo fuso horário; no caso, a diferença de hora local convencional seria de 3 horas).

Para determinar a longitude na navegação, bastaria, portanto, transportar a bordo no navio um relógio acertado pela hora de Greenwich, e compará-lo, por exemplo, com o meio-dia local (sol a pino). Mas isto requer um relógio de grande precisão, pois um erro de 1 minuto no tempo equivale a um quarto de grau:

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Logo, se um navegador quisesse determinar a longitude com erro menos que 0,5° (aproximadamente 56km) depois de uma viagem de 6 semanas o relógio não poderia adiantar ou atrasar mais do que e minutos em 42 dias, ou seja 3 segundos por dia!

A importância prática do problema pode ser ilustrada pelo fato de que um Tratado como o de Tordesilhas (1493), dividindo as terras do globo entre Portugal e Espanha, tinha efeitos meramente acadêmicos enquanto não pudesse determinar que terras estivessem situadas a leste ou a oeste de um dado meridiano. Em 1714, o Parlamento inglês ofereceu o maior prêmio jamais oferecido até aquela época (₤20.000) a quem inventasse um método prático de determinação da longitude com erro < 0,5°. Newton, Leibniz e outros cientistas ilustres não haviam conseguido resolver o problema.

Finalmente, ele foi resolvido por um carpinteiro inglês chamado John Harrison, com a construção do seu “cronômetro marítimo”. O problema mais difícil era o de compensar os efeitos da dilatação da mola espiral devido a variações de temperatura. Após mais de 30 anos de trabalho, Harrison chegou a seu “Modelo 4”, que foi testado em 1761, numa viagem de Porstmouth à Jamaica. Decorridos mais de 5 meses de viagem, o relógio só se tinha desviado de 1min 53,5s, satisfazendo amplamente às condições exigidas. Assim mesmo, o prêmio não foi pago! Harrison só recebeu a metade em 1765, após um segundo teste, em que o erro foi < 0,1s por dia em 156 dias. Acabou recebendo a segunda metade em 1777, por intervenção do rei George III.

A precisão do cronômetro marítimo de Harrison era da ordem de 1 parte em 105, comparável à precisão de um moderno relógio “elétrico”, baseado nas vibrações de um diapasão e nas oscilações elétricas de um circuito. Um relógio de pulso de quartzo, baseado em oscilações de um cristal de quartzo submetido a um campo elétrico, tem usualmente uma precisão da ordem de 1s por mês, ou seja, aproximadamente 3 partes em 107, mas relógios mais sofisticados baseados em osciladores de quartzo atingem precisão da ordem de 1 parte para 108.

Num “relógio atômico”, utiliza-se como padrão de freqüência uma freqüência característica associada a uma radiação (na região de microondas) emitida por átomos de césio 133, que, por sua vez, controla oscilações eletromagnéticas na região de microondas e um oscilador de quartzo. A precisão do atual padrão primário de tempo (NIST – F1) é de 2 partes em 1015 (1s em 20 milhões de anos!).

Com o relógio atômico, tornou-se fácil detectar as irregularidades da rotação da Terra. Até 1956, a definição da unidade de tempo (s) se fazia em termos do dia solar médio, a média sobre um ano da duração do dia (de meio-dia a meio-dia) com:

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Em 1956, tendo em vista as irregularidades na rotação da Terra, adotou-se uma definição baseada na duração do ano (período de revolução da Terra em torno do sol), mas, levando em conta que este também é variável (de forma conhecida com grande precisão), relativa à duração do “ano tropical” 1900 (1 ano tropical é o intervalo entre duas passagens consecutivas do Sol pelo equinócio de primavera). Assim, 1 “segundo das efemérides” foi definido como a fração do ano trópico 1900:

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Finalmente, em 1967, foi decidido definir também o segundo em termos de uma radiação atômica característica. A definição atual do segundo é:

1s é a duração de 9.162.631.770 períodos da radiação característica do césio 133 que é empregada no relógio atômico.

São comumente empregadas as seguintes designações para frações de 1s:

1ms (milissegundo) = 10 – 3s

s (microssegundo) = 10 – 6s

1ns (nanossegundo) = 10 – 9s

1ps (picossegundo) = 10 – 12s

1fs (femtossegundo) = 10 – 15s

1as (atossegundo) = 10 – 18s

A tabela abaixo nos dá uma idéia de escalas de tempo abrangidas pela Física.

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[Tabela 1]

Referências:

[1]  Física Básica, H. Moysés Nussenzveig


Veja mais:

Medidas de Tempos Muito Longos
O Tempo Absoluto de Newton
O Movimento de Precessão da Terra
EDO: Técnica de Datação por Carbono 14

24 de jun de 2010

Quanto pesa a atmosfera terrestre?


Para responder esta pergunta, vamos determinar quantas vezes a massa da Terra é maior que o ar que o rodeia.

O ar exerce sobre a superfície terrestre uma pressão de $1$ quilograma por centímetro quadrado, aproximadamente.

Isto quer dizer que o peso da coluna de ar que se apóia em $1cm^2$ é igual a $1kg$.

A capa atmosférica da Terra é formada, podemos assim dizer, pelo conjunto dessas colunas de ar que são tantos quantos os centímetros quadrados da superfície do nosso planeta e quantos quilogramas que pesa toda essa atmosfera.

Sendo o raio médio da Terra igual a $R=6.378km$, aplicamos na fórmula da área de uma superfície esférica:
\begin{equation*}
A=4\pi R^2 \approx 510.000.000 km^s
\end{equation*}
isto é $5,1 \times 10^8km^2$

Vejamos quantos centímetros quadrados há em um quilômetro quadrado: O quilômetro quadrado tem $1.000$ metros e cada metro tem $100$ centímetros, ou seja, $1$ quilômetro possui $10^5cm$ e, portanto, o quilômetro quadrado é constituído por:
\begin{equation*}
1km = 1000m\\
1km^2 = \left(10^5\right)^2=10^{10}cm^2
\end{equation*}
Daqui decorre que a superfície terrestre é cerca de:
\begin{equation*}
5,1 \times 10^8 \cdot 10^{10} = 5,1\times 10^{18} cm^2
\end{equation*}
Este número representa também a quantidade de quilogramas que pesa a atmosfera da Terra. Podemos reduzir os quilômetros a toneladas:
\begin{equation*}
\frac{5,1 \times 10^{18}}{10^3}=5,1 \times 10^{15}t
\end{equation*}
Enquanto que a massa da Terra é de $6 \times 10^{21}t$.

Para sabermos quantas vezes nosso planeta é mais pesado do que o ar que o rodeia, fazemos:
\begin{equation*}
\frac{6 \times 10^{21}}{5,1 \times 10^{15}}\approx 10^6
\end{equation*}
Podemos concluir que a massa atmosférica é aproximadamente a milionésima parte da massa do globo terrestre.

Referências:

[1] Álgebra Recreativa - Yakov Perelman

Veja mais:

As Velocidades da Terra
O Movimento de Precessão da Terra
Demonstração da Área de Superfície Esférica

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23 de jun de 2010

Transformação de Áreas

Um polígono é dito regular se tiver todos os seus lados e ângulos congruentes. Para estas figuras planas há fórmulas para o cálculo de suas áreas. Mas quando nos deparamos com um polígono irregular, ou seja, uma figura que não há congruência entre seus lados e ângulos, essas fórmulas falham.

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[Figuras 1 e 2]

Vemos na figura 1 um pentágono regular, com seus cinco ângulos internos medindo 108° e, conseqüentemente, seus lados são iguais. Na figura 2, temos um pentágono irregular. Vemos que não há congruência dos ângulos internos e seus lados possuem medidas diferentes entre si.

Neste caso, como podemos calcular sua área?

Podemos utilizar um artifício, transformando uma figura complexa em outra mais simples em que seja fácil o cálculo de sua área, tais como o retângulo ou o triângulo.

Vamos somente relembrar que a área de um triângulo é dada pelo semi-produto de sua base por sua altura:

clip_image002

Então, com base nesta informação, os triângulos ABC, ABD e ABE da figura 3 têm a mesma área já que a base AB e a altura h são comuns para todos.

image [Figura 3]

Podemos usar esta propriedade para decompor uma figura irregular numa outra figura mais simples.

Seja um quadrilátero genérico dado na figura 4. Vamos transformá-lo de modo a facilitar o cálculo de sua área.

image [Figura 4]

Tracemos uma reta r por AC e uma reta s paralela a r em D, formando um triângulo ACD. Deslocando o ponto D através da reta s de modo que fique colinear à AB em D’, obtemos um novo triângulo ACD’ACD.

image [Figura 5]

Desta forma, transformamos o quadrilátero ABCD em um triângulo BCD’ com áreas iguais. E para o cálculo de sua área, usamos a fórmula dada em (1).

Esse procedimento pode ser aplicado a qualquer polígono:

image

[Figura 6]

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[Figura 7]

  image[Figura 8]

 image[Figura 9]

image[Figura 10]

Vemos que o hexágono ABCDEF dado na figura 6 foi transformado em um triângulo C’D’F’ dado na figura 10 possuindo a mesma área.


Veja mais:

Solução Geométrica para o Problema das Idades
Número de Regiões de um Plano Determinado por um Número de Retas
Um Diamante em Números

13 de jun de 2010

Utilizando Tábuas de Logaritmos para Encontrar Aproximações de Expressões Complexas

Já vimos nos posts anteriores como usar a tábua de logaritmos e também como calcular logs e aproximações de raízes. Podemos aplicar o mesmo conceito para encontrar soluções aproximadas de expressões mais complexas. Vejamos um exemplo: Encontrar a solução para a expressão:

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Primeiramente fazemos:

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Utilizando as propriedades dos logaritmos, podemos simplificar a equação acima da seguinte forma:

clip_image008

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Vamos determinar as características e as mantissas dos logs acima separadamente:

Para o log87, temos a característica igual a 1 e procurando na tábua de logaritmos pelo número N = 87, encontramos a mantissa 93952; Para o log35, temos 1como sua característica e a mantissa correspondente a 54407; Para o log43, temos 1 como sua característica e a mantissa correspondente a 63347.

Substituímos os valores encontrados acima em (1), obtendo:

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Caímos no problema inverso, onde temos a mantissa e queremos encontrar o número N = x.

Temos que a característica do número 0,563395 é 1, pois temos apenas 1 zero antes do primeiro algarismos significativo.

Procuramos, agora, na tábua de logaritmos pela mantissa igual a 563395. Encontramos somente aproximação, indicando que a solução para nossa equação não é um número inteiro. O valor que melhor se aproxima é da mantissa 56348. Seu número N correspondente é 366.

Então, a solução pode ser aproximada por:

clip_image020

Se calcularmos a expressão inicial através de uma calculadora científica ou mesmo pelo Excel, encontramos o valor de x = 3,65927. Vemos que o valor encontrado fazendo uso da tábua de logaritmos é uma aproximação razoável, com duas casas decimais, ótima para cálculos corriqueiros.


Veja mais:

Utilizando Tábuas para Calcular Logaritmos
Utilizando Tábuas para Encontrar Aproximações de Raízes

Utilizando Tábuas de Logaritmos para Encontrar Aproximações de Raízes

Vimos no post anterior uma breve introdução de como utilizar tábuas de logaritmos para calcular logaritmos de números inteiros e decimais. Vamos agora encontrar aproximações de raízes utilizando tábuas de logaritmos.

Seja a raiz quadrada de 2. Vamos encontrar a solução para:

clip_image002

Podemos escrever:

clip_image004

clip_image006

Utilizando a propriedade dos expoentes dos logaritmos, fazemos:

clip_image008

Agora, podemos consultar uma tábua de logaritmos e verificar a mantissa correspondente ao número N = 2, que é 30103. A característica de N = 2 é 0. Portanto, temos que:

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Substituímos o valor encontrado em (2) na equação (1):

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Aqui o problema é inverso: temos a mantissa igual a 150515 e queremos encontrar o número N. Se procurarmos na tábua de logaritmos pela mantissa 150515 não a encontraremos, mas sim valores aproximados. A mantissa 150515 está entre duas outras: 15045 e 15076, que correspondem respectivamente aos números 1414 e 1415. Isso nos mostrar que o número x que procuramos não é um número Natural. Vamos, então, encontrar a melhor aproximação possível para raiz de 2.

Temos que a característica de 0,150515 é 1, por ser um número decimal e ter apenas 1 zero antes do primeiro algarismo significativo. Se tomarmos a mantissa 1414 como base de cálculos, teremos que:

x = 1,414

que é aproximadamente a raiz quadrada de 2:

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Que é uma aproximação razoável para cálculos corriqueiros.

Vamos, agora, encontrar a raiz cúbica de 9261.

Temos que:

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Consultando uma tábua de logaritmos, verificamos que a mantissa correspondente ao número 9261 é 96666.

A característica do número 9261 é 3. Logo temos:

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Substituímos (4) em (3), obtemos:

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Temos novamente o problema inverso: temos a mantissa igual a 3222 e queremos encontrar o número N correspondente. Procurando na tábua de logaritmos pela mantissa 3222, encontramos o número N = 21, que é exatamente a raiz cúbica de 9261.

Vejam que o processo se torna mecânico após alguns exercícios e podemos expandir para equações mais complexas.


Veja mais:

Utilizando Tábuas para Calcular Logaritmos
Utilizando Tábuas de Logaritmos para Encontrar Aproximações de Expressões mais Complexas

8 de jun de 2010

Utilizando Tábuas para Calcular Logaritmos

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Vou aqui, mostrar como calcular logaritmos utilizando Tábuas de Logaritmos, assim como encontrar sua característica e a mantissa. 

Obs.: Não encontrei uma tábua on-line para ilustrar os valores mostrados neste estudo. No entanto, a tábua que possuo é a mesma da imagem ao lado e clicando nela leva a uma página do ML com tábuas usadas para venda.

Um pouco de História

Os logaritmos, como instrumento de cálculo, surgiram para realizar simplificações, uma vez que transformam multiplicações e divisões nas operações mais básicas como soma e subtração.

O mérito da invenção foi dado ao escocês John Napier, embora não tivesse descoberto tudo sozinho.

Napier era um Barão e gostava de Matemática, mas não era matemático profissional. Seu trabalho deu o impulso final para o emprego universal da notação decimal, com o uso sistemático de casas decimais depois da vírgula para representar frações decimais.

Uma das necessidades que levaram ao pensamento de descobrir meios matemáticos para solucionar problemas foram as grandes navegações, a astronomia e operações a serem efetuadas contendo muitos dígitos, o que as tornava mais difíceis, principalmente no caso de multiplicações e divisões.

Na invenção do logaritmo, Napier trabalhou durante vinte anos antes de publicar seus resultados, isso ocorreu em 1614, quando publicou “mirifici logarithmorum canonis descriptio” (uma descrição da maravilha dos logaritmos).

A publicação em 1614 do sistema de logaritmos teve sucesso imediato, e entre seus admiradores mais entusiásticos estava Henry Briggs, professor de Geometria em Oxford. Em 1615 ele visitou Napier em sua casa na Escócia, e lá eles discutiram possíveis modificações no método dos logaritmos. Briggs propôs o uso de potências de dez, e Napier que já havia pensado nessa possibilidade e concordava. Napier uma vez tinha proposto uma tabela usando:

clip_image002 e clip_image004.

Os dois finalmente concordaram em que o logaritmo de 1 deveria ser 0 e o logaritmo de 10 deveria ser 1. Mas Napier já não tinha energia suficiente para por em prática essas ideias, pois morrera em 1617. Por isso recaiu sobre Briggs a tarefa de construir a primeira tabela de logaritmos comuns.

Ficou sugerido até agora que a invenção dos logaritmos foi obra de um só homem, mas tal impressão não deve permanecer. Napier de fato foi o primeiro a publicar uma obra sobre logaritmos, mas idéias muito semelhantes foram desenvolvidas independentemente na Suíça por Jobst Bürgui mais ou menos ao mesmo tempo. Na verdade, é possível que a idéia de logaritmo tenha ocorrido a Bürgui em 1588, o que seria seis anos antes de Napier começar a trabalhar na mesma direção. Porém Bürgui só publicou seus resultados em 1620. As diferenças entre as obras dos dois homens estão principalmente na terminologia e nos valores numéricos, os princípios fundamentais eram os mesmos.

Nosso estudo:

Os logaritmos decimais são definidos pela função exponencial:

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E podem ser representados como:

clip_image008

Ou simplesmente:

clip_image010

A manipulação dos logaritmos nos cálculos exige que possamos determinar rapidamente os logaritmos de números naturais com determinadas aproximações.

Vamos, neste estudo, fazer uso das tábuas de logaritmos para determinarmos alguns logaritmos.

As tábuas de logaritmos, (hoje praticamente esquecidas devido ao avanço da tecnologia, que nos trás calculadoras sofisticadas que, além de trazer o valor do logaritmo, esboça também seus gráficos) soa tabelas ordenadas dos números naturais e seus logaritmos calculados com uma determinada aproximação.

Podemos destacar duas propriedades interessantes:

P1) O logaritmo decimal de qualquer potência de 10, coincide com seu próprio expoente:

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P2) Quando o número não for potência de 10, seu logaritmo decimal será composto da soma de uma parte inteira, denominada característica, com uma parte decimal, denominada mantissa.

Assim, temos:

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As tábuas de logaritmos fornecem apenas as mantissas que são sempre positivas. Vamos considerar mantissas com 5 algarismos decimais, que é uma aproximação mais do que suficiente para cálculos corriqueiros.

A característica, correspondente de cada número pode ser determinada fazendo uso das seguintes regras:

R1) Se o número N for inteiro, ou um número decimal com parte inteira (N > 1), sua característica será dada pelo inteiro determinado pelo número de algarismos da parte inteira do número dado, diminuído de 1 unidade.

Por exemplo, se tivermos N = 19, sua característica será 2 – 1 = 1; se tivermos N= 123,17, sua característica será 3 – 1 = 2. Vejamos outros exemplos:

image R2) Se o número N for um número decimal com a parte inteira nula (N < 1), sua característica é negativa, representada por uma barra vertical sobre o número, e é determinada pela quantidade de zeros que precedem o primeiro algarismo significativo, incluindo o zero à esquerda da vírgula.

Se tivermos N = 0,0072345, sua característica será clip_image020, pois há 3 zeros precedendo o número 7, que é o primeiro algarismo significativo. Vejamos outros exemplos:

image Vamos, agora, resolver alguns exemplos de problemas utilizando as tábuas de logaritmos.

Exemplo 1: Determine o log 4391.

Como N é um número inteiro, sua característica é a quantidade de algarismos menos 1, que neste caso: 4 – 1 = 3. Agora, devemos procurar em uma tábua de logaritmos, o número na coluna intitulada de N e encontrar a mantissa correspondente na coluna intitulada Log . Neste caso, a mantissa correspondente ao número 4391 é 64256.

Então temos que:

clip_image026

Onde 3 (número à esquerda da vírgula) é a característica e 64256 (número à direita da vírgula) é a mantissa.

Exemplo 2: Determine o log 27.

A característica, neste caso é 2 – 1 = 1. Procurando na tábua de logaritmos, na coluna N o número 27, encontramos a mantissa correspondente na coluna Log, que é 43136.

Portanto:

clip_image028

Onde 1 (número à esquerda da vírgula) é a característica e 43136 (número à direita da vírgula) é a mantissa.

Exemplo 3: Determine o log 0,006534.

Como N é um número decimal, sua característica é dada pela quantidade de zeros, que neste caso possui 3 zeros. Representamos por:clip_image020[2].

Agora, procuramos na tábua de logaritmos, na coluna N, pelo número 6534 e encontramos a mantissa correspondente na coluna Log, que é 81518.

Temos então que:

clip_image030

Onde clip_image020[3] (número à esquerda da vírgula) é a característica e 81518 (número à direita da vírgula) é a mantissa.

Importante: Se fizermos a conta através de uma calculadora científica (a do Windows mesmo serve), veremos que:

clip_image032

Que é um valor diferente do que encontramos. Então fizemos a conta errada? Não! Simplesmente expressamos o valor correto de uma forma diferente, característico das tábuas de logaritmos, que são muito dinâmicas e com muitas propriedades interessantes

Para transformar o valor expresso acima, num número real para trabalharmos em cálculos, devemos fazer uma conversão simples: Subtraímos a característica da mantissa, desta forma:

clip_image034

Que é exatamente o valor para o log 0,006534.

Exemplo 4: Determine o log 0,000057

Neste caso, a característica é igual a clip_image036. Procuramos na tábua de logaritmos, na coluna N pelo número 57. Encontramos a mantissa correspondente na coluna Log, igual a 75587.

Temos então que:

clip_image038

Que equivale a dizer que:

clip_image040

Que é exatamente o valor encontrado por qualquer calculadora.

Mágica? Não! Sabedoria de poucos que contribuíram para o desenvolvimento desta fascinante ciência: Matemática.


Veja mais:

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