11 de dez de 2010

EDO: Naftalina e o Tempo de Sublimação

A naftalina, quimicamente designada por naftaleno, é um hidrocarboneto aromático cuja molécula é constituída por dois anéis benzênicos condensados, juntamente com o benzenos (C6H6) e antraceno (C14H10).

Sua fórmula estrutural é dada por:

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Sua fórmula molecular é dada por:

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É uma substância cristalina branca em forma de lâminas ou esferas, altamente volátil que sofre sublimação(1) e possui odor característico de alcatrão das esferas antitraças e que arde como chama luminosa.

Nota (1): Sublimação é o processo físico que as partículas de uma dada substância passam do estado sólido para o gasoso (ou do gasoso para o sólido) diretamente, sem passar pela fase intermediária do estado líquido.

Exatamente por possui o odor forte e desagradável, esta característica é responsável pela propriedade inseticida, pois os fortes odores exalados pela substância são capazes de eliminar qualquer micro-organismo indesejável. É por isso que as esferas de naftalinas combatem a presença de traças em roupas de lã em armários fechados.

A naftalina ocorre de forma natural no petróleo, mas em pequenas quantidades através de um processo denominado reforming, modificação catalística de hidrocarbonetos alifáticos. Desta forma, é mais conveniente obter a substância por destilação do alcatrão da hulha, no qual está presente numa proporção de 7%.

Infelizmente os vapores exalados pela naftalina são também tóxicos ao ser humano, ficando exposto ao risco de inalar tal substância. Por este motivo, justifica-se por que a naftalina não é atualmente a melhor opção no controle de pragas.

O processo de sublimação de esferas de naftalina é tão interessante que foi alvo de estudos de matemáticos que conseguiram determinar uma equação diferencial onde é possível determinar a perda de material em função do raio da esfera de naftalina num instante t. Vamos primeiramente determinar a equação diferencia das esferas de naftalina.

Uma esfera de naftalina perde material por sublimação a uma taxa proporcional a sua superfície:

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O volume da esfera é dado por:

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E a área da esfera é dada por:

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Substituindo (2) e (3) na equação diferencial (1), obtemos:

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Encontrando:

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Exemplo:

Sabendo que inicialmente o raio da hipotética esfera de naftalina é igual a 1 cm e que em 5 horas após o raio media 0,8 cm, podemos determinar em quanto tempo a esfera de naftalina irá sublimar completamente.

Da equação (5), segue que:

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Integramos ambos os termos:

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Sendo r(0) = 1 cm, então 1 = r(0) = C, de modo que:

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Então, passado 6 horas, sabemos que r = 0,8 cm. Assim, aplicamos na equação (7):

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A igualdade (8) nos mostra que o raio evolui a uma taxa de 0,04 cm/h. Aplicamos, agora, o valor de k encontrado em (8), na equação (7), encontrando:

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Aqui já conseguimos determinar o momento da sublimação total da naftalina, que acontecerá quando o raio for igual a zero:

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Logo:

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Concluímos então que a esfera de naftalina sublima totalmente em um tempo de 25 horas.


Veja Mais:

EDO: Lei dos Gases de Boyle
EDO: Lei da Refrigeração de Newton
EDO: Queda dos Corpos com Resistência do Ar
A Equação de Bernouli no blog Fatos Matemáticos
Uma Breve História da Equações Diferenciais no blog Fatos Matemáticos

8 comentários:

  1. Paulo, obrigado pela ajuda! Um abraço.

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  2. Ficou muito bom o post. Gostei muito dessa aula de Química,encerrrando com um pouco de Matemática, ideal para um exemplo de EDO´s de variáveis separáveis. Agradeço pelos links citados acima. Abraços!

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  3. Olá, Kleber!
    Para aqueles que perguntam: "pra que serve a matemática"? Para aqueles que perguntam: "é difícil calcular isso"? Então, o professor Kleber, didático e preciso, responde sobre a utilidade e a facilidade que a matemática tem. Show de bola!
    [1]!!!!!

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  4. Eu que agradeço Paulo! Também gosto dessa integração com outras áreas. Meu conhecimento de Química é muito pouco, mas dei uma pesquisada para fazer este post. Acho que ficou bacana. Nos materiais que utilizei tinha um exemplo pareceido com o seu, mas com tempo de sublimação de 6 meses. Procurei na net algum lugar que indicasse o tempo médio real de sublimação, mas não encontrei. Coloquei seu exemplo que ficou muito melhor!

    Um abraço!

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  5. É verdade Francisco, todos perguntam aonde usar a matemática ou para que ela serve. Esse é um exemplo real.

    Sabe que acabei de ver um programa na TV Futura (19h), do professor Bigode chamado "A Matemática está em Todo Lugar". Excelente programa, ele vai a determinados lugares (construções, fazendas, ...)e fica analisando matematicamente os processos envolvido. Fica bem clara a aplicação da Matemática. Se puder assista, é fantástico!

    Obrigado por suas palavras. Um forte abraço meu amigo!

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  6. Oi, Kleber!
    Obrigado pela dica sobre o prog. da TV Futura. Ele é ótimo mesmo e... imperdível!
    Um forte abraço!!!!!

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  7. Muito bom mesmo!

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  8. Muito bom. Só não aprendi ainda o que são aqueles cálculos, mas o resto me ajudou bem em química. Obrigado

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