12 de out de 2010

A Estrutura E8

A E8 é uma das mais complicadas estruturas já estudadas. O objeto também é conhecido como Excepcional Lie Group E8. Desvendá-la foi uma conquista significativa tanto como um avanço no conhecimento básico, como por causa das suas conexões entre muitas outras áreas do conhecimento, incluindo a teoria das cordas e a geometria.


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A magnitude do cálculo é surpreendente: se os cálculos fossem impressos em letras minúsculas, cobriria uma área do tamanho de Manhattam, ou seja 58km2. Fazendo uma comparação com o Genoma Humano (que contém todas as informações genéticas de uma célula) tem cerca de 1 gigabyte de tamanho e o resultado do cálculo da E8, que contém todas as informações sobre a estrutura E8 e suas representações, é de cerca de 60 gigabytes de tamanho! Isso é espaço suficiente para armazenar 45 dias de música contínua em formato MP3.
 
Apesar de muitos projetos científicos envolverem o processamento de grandes massas de dados, o cálculo da E8 é muito diferente: o tamanho de entrada é comparativamente pequeno, mas a resposta em si é enorme e muito densa. Para se ter uma idéia da dimensão do cálculo, o E8 gera uma matriz de 453.060 linhas e colunas!

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Os matemáticos geralmente são conhecidos por seu estilo de trabalho solitário e secreto, mas o estudo da E8 é parte de um grande projeto que reúne 18 grandes matemáticos dos EUA e da Europa em colaboração intensiva durante 4 anos.

“Isto é emocionante”, disse Peter Sarnak, professor de Matemática na Universidade de Princeton, que não tem vínculo com o projeto. “Compreender e classificar as representações de Grupos de Lie tem sido fundamental para a compreensão dos fenômenos em várias áreas da Matemática, tais como Geometria, Teoria dos Números, assim como na Física e na Química. Este projeto será importante para os futuros matemáticos e cientistas”.

O E8 é um exemplo de Grupo de Lie (pronuncia-se Lee), em homenagem ao matemático norueguês Sophus Lie, séc XIX, que queria explicar a maneira pela qual objetos simétricos podiam ser girados enquanto eram observados.

Como o projeto do Genoma Humano, estes resultados são apenas o começo. De acordo com o líder do projeto Jeffrey Adams, “Esta é a pesquisa básica que terá muitas implicações, mas de que nós não compreendemos ainda. Nossos resultados são apenas uma ferramenta básica que as pessoas irão usar para avançar a pesquisa em outras áreas”. Isto poderia ter implicações na Matemática e na Física, que não aparecem durante anos. E continua “O que nós fizemos foi apenas mapear a estrutura da E8, mostrando todas suas manifestações. Se as pessoas dizem que somos loucos, em certo sentido, estão certas, mas o que utilizamos aqui é uma Matemática de mais alto nível. É a coisa mais interessante que posso imaginar e pensar”.

De acordo com Hermann Nicolai, diretor do Instituto Albert Einstein, em Bona, Alemanha (sem vínculo com o projeto), "Esta é uma conquista impressionante. Enquanto matemáticos já conhecem há muito tempo sobre a beleza e a singularidade da E8, físicos têm vindo a apreciar seu papel excepcional mais recentemente. Ainda, em nossas tentativas de unificar a gravidade com as outras forças fundamentais em uma teoria consistente da gravitação quântica (que agora encontramos em quase todos os cantos), assim, a compreensão do funcionamento interno da E8 não é apenas um grande avanço para a matemática pura, mas também pode ajudar os físicos na busca de uma teoria unificada".
Os resultados da E8 forma anunciadas pelo MIT, por David Vogan em 19 de Março de 2007.

O Cálculo da E8

A equipe que produziu o cálculo da E8 começou a trabalhar intensivamente desde 2003 anos. Reuniam-se no Instituto de Americano de Matemática a cada verão e em pequenos grupos ao longo do ano. Seu trabalho requer uma mistura de matemática teórica e programação de supercomputadores.

E8 diagrama
David Vogan, do MIT, diz que a literatura sobre o assunto é muito densa e muito difícil de entender e mesmo depois que se entendeu a matemática subjacente, ainda levou mais de dois anos para implementá-la em um computador.

Então veio o problema de encontrar um computador suficientemente adequado para fazer os cálculos. Por mais de um ano a equipe trabalhou para tornar os cálculos mais eficazes, de modo que poderia caber em supercomputadores existentes, mas ficou um pouco além da capacidade do hardware disponível. A equipe contemplava a perspectiva de esperar por um computador melhor, quando Noam Elkies de Harvard, apontou uma maneira engenhosa de executar várias versões menores do cálculo, cada um produzindo uma versão incompleta da resposta, mas que poderiam ser combinadas para dar a resposta final. O custo foi ter que executar o cálculo num tempo quatro vezes maior para combinar as respostas. No fim, o cálculo levou cercar de 77 horas utilizando o supercomputador Sage.

Beleza e Simetria

No nível mais básico, o cálculo da E8 é uma investigação de simetria. Os matemáticos inventaram o Grupo de Lie para capturar a essência da simetria, sob qualquer objeto simétrico: uma esfera, por exemplo, é um grupo de Lie.

É basicamente simples imaginar um objeto em três dimensões, por exemplo, uma esfera girando em torno de seus eixos x, y¸e z, sendo idêntica em qualquer ângulo de observação. No entanto, o Grupo de Lie E8 tem dimensão 248! Já imaginou isso? O sistema da raiz E8 consiste em 240 vetores na dimensão 8 no espaço Euclidiano.

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Todos os vetores tem comprimento √2 de modo que as coordenadas sejam todas interias ou semi-inteiras e a soma das coordenadas sejam par. Explicitamente há 112 raízes com entradas inteiras, obtidas de:

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Tomando uma combinação arbitrária de sinais e uma permutação arbitrária de coordenadas, e 128 raízes semi-inteiras obtidas de:

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Um conjunto de raízes simples de um sistema radicular Φ é um conjunto de raízes que formam uma base para o espaço euclidiano estendido para Φ com a propriedade especial de que cada raiz tem componentes com relação a essa base que sejam todos não-negativos ou todos não-positivos. Uma escolha de raízes simples da E8 é dada pelas linhas da seguinte matriz:

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Para descrever o novo resultado é requerido um nível elevado de abstração. As formas que o E8 se manifesta como um grupo de simetria são chamadas de representações. O objetivo é descrever todas as possíveis representações do E8. Essas representações são extremamente complicadas, mas os matemáticos descrevem-nas em termos de blocos básicos de construção. O novo resultado é uma lista completa dos blocos de construção para as representações do E8 e uma descrição precisa das relações entre eles, tudo codificado em uma matriz com 205.263.363.600 entradas.

Idealizadores E8
[Membros do Projeto Atlas, Palo Alto, 2004]

Este post é apenas uma amostra sobre a E8. A falta de literatura em português dificulta um pouco a pesquisa e mesmo em língua inglesa é difícil de entender. O que me impressionou foi sua descrição, beleza e tanto empenho de pessoas em um projeto que na verdade não sabem ainda seu potencial. Estas são características dos matemáticos. Mas ainda ficou aquela pergunta: o que é realmente o E8? Bem pessoal, não sei exatamente, nem suas aplicações. É belo? Sim, de doer os olhos. Intrigante? Sim, e muito. Complexo? Parece que extremamente. Se alguém souber traduzir esta estrutura, exponha aqui para que todos possam entender melhor.

Referências:

[1] http://aimath.org/E8/
[2] http://en.wikipedia.org/wiki/E8_%28mathematics%29
[3] http://en.wikipedia.org/wiki/Talk:E8_%28mathematics%29#Move_to_.22E8_.28mathematics.29.22.3F
[4] http://www.mundogump.com.br/cientistas-conseguem-finalmente-desvendar-a-e8/
[5] http://www.sciencedaily.com/releases/2007/03/070319090520.htm
[6] http://www.timesonline.co.uk/tol/news/science/article1533648.ece



Veja mais:

5 Trilhões de Dígitos de PI
A Computação e o Sonho de Babbage
Zeros Reais de Funções Reais


4 comentários:

  1. Fantástico!!!!

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  2. Olá, Kleber!
    Essa é uma das mais (senão, a mais) lindas mandalas (há uma aqui à esquerda) que eu já contemplei! Cara, você ao se aproximar dela (fig. ampliada) lentamente sem pestanejar e sempre mirando o seu centro, feito um espermatozóide indo de encontro ao óvulo (disse alguma coisa relacionada?), chega um instante em que, a linha limítrofe externa desaparece do seu campo de visão e aí, antes o que parecia ser uma(s) esfera(s) transparente(s) nos remete para dentro de um túnel(vejo a luz no fim dele), um vórtice. Só não sei definir se é: um buraco negro, buraco branco, buraco de minhoca ou uma placenta! No final do seu post você pede que alguém que souber traduzir esta estrutura, que dê a sua contribuição para um melhor entendimento sobre o assunto. Pois eu conheço esse alguém, cujo nome é: NATUREZA! Ela usou esse conhecimento para criar os mais antigos grupos de animais do planeta, os RADIOLÁRIOS.
    Um abraço!!!!!

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  3. Olá Valdir,
    Realmente sua beleza é incrível. Fiquei um bom tempo seguindo suas arestas...radiolários...há quanto tempo não ouvia este nome! A Natureza é fantástica! Estou tentando entrar no túnel que você descreveu, ainda não consegui.
    Valdir, dê uma olhada neste artigo:
    http://topologia.wordpress.com/2010/10/10/e8-con-hilo-tensado/
    simplesmente incrível!!!

    Abraços!!

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  4. Olá Kleber, que post magnifíco !!!!!!!!

    Aproveitando o assunto do post, indico a vc dois livros que explicam a Teoria de Grupos, que é a origem de "grupos de Lie" como o E8:

    1) Título: A equação que ninguém conseguia resolver: como um gênio da matemática descobriu a linguagem da simetria.
    Autor: Mario Livio

    2) Título: Uma história da simetria na matemática
    Autor: Ian Stewart

    Os dois falam superficialmente do "grupo e8", mas de qalquer forma, eles servem para divulgar essa parte tão importante [e desconhecida aqui no Brasil pelos leigos] da matemática.

    Tchau e até o próximo post ...

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