17/09/2010

Volume de uma Calota Esférica

Para esta demonstração, podemos partir do mesmo princípio utilizado para o cálculo do Volume da Esfera, envolvendo o conceito de integral definida. Podemos adotar o mesmo raciocínio para encontrarmos a função $f (x)$ a ser integrada, alterando somente os limites de integração.

 

Primeiramente, vamos definir: Calota esférica é o sólido gerado a partir de uma esfera ao ser seccionada por um plano:

volume-de-uma-calota-esferica

Figura 1

Desta forma, os limites de integração serão de $r – h$ até $r$.


Para simplificar este desenvolvimento, vamos partir da função $f (x)$, que foi originada da equação da circunferência de centro na origem:

$$
y = \sqrt{r^2-x^2} \tag{1}
$$

Veja o desenvolvimento completo acessando o link para o artigo: Volume da Esfera.

 

Vamos posicionar a figura 1 de outro modo, mais conveniente:

volume-de-uma-calota-esferica-eixo-x
Figura 2


Suponha, agora, a calota esférica de altura $h$ formada por infinitos cilindros de alturas infinitesimais $dx$ e raios $y$, onde $y$ é variável para cada ponto de $h$:

disco-de-largura-infinitesimal-dx
Figura 3


Sabemos que o volume do cilindro é dado por:

$$
V_{cilindro} = A_b \cdot h\\
\ \\
V_{cilindro} = \pi\ y^2 \cdot h
$$

E, neste caso:

$$
V_{cilindro} = \pi\ y^2\ dx \tag{2}
$$

A soma destes infinitos cilindros de alturas infinitesimais forma a calota esférica, nos limites $r – h$ e $r$. Então, o seu volume será dado por:

$$
V = \int_{r-h}^{r} y^2\ dx
$$

Fatorando a constante:

$$
V = \pi \int_{r-h}^{r} y^2\ dx \tag{3}
$$

Substituímos a equação $(1)$ na integral $(3)$:

$$
V = \pi \int_{r-h}^r \left( \sqrt{r^2-x^2} \right)^2\ dx\\
\ \\
V = \pi \int_{r-h}^r \left( r^2 -x^2\right)\ dx
$$

Integrando em relação a $x$, obtemos:

$$
V = \pi \left[ r^2\ x - \frac{x^3}{3} \right]_{r-h}^{r}
$$

Aplicando os limites:

$$
V = \pi \left[ \left( r^2 r - \frac{r^3}{3} \right) - \left(r^2 (r-h) - \frac{(r-h)^3}{3}\right) \right]
$$

Agora é somente álgebra:

$$
V = \pi \left[ \left(r^3-\frac{r^3}{3}\right) - \left(r^3-r^2h-\frac{r^3-3r^2h+3rh^2-h^3}{3}\right)\right]\\
\ \\
V = \pi \left[ \left(\frac{3r^3-r^3}{3}\right) - \left(\frac{3r^3-3r^2h-r^3+3r^2h-3rh^2+h^3}{3}\right)\right]\\
\ \\
V = \frac{\pi}{3} \Big( 2r^3-3r^3+r^3+3rh^2-h^3 \Big)\\
\ \\
V = \frac{\pi}{3} \Big( 3rh^2-h^3 \Big)\\
$$

E por fim:

$$
V = \frac{1}{3}\ \pi\ h^2(3r-h)
$$

Links para este artigo:

 

Veja mais:

 

COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: Volume de uma Calota Esférica. Publicado por Kleber Kilhian em 17/09/2010. URL: . Leia os Termos de uso.


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16 comentários:

  1. Muito bom o post! Sugiro que escreva um sobre o volume do segmento esférico. Obrigado pela citação dos posts do meu blog. Abraços!

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  2. Olá parceiro,
    Poderia me indicar o software que você usa para desenhar suas figuras?

    Abraços,
    Matheus Basílio

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  3. Olá Paulo, Obrigado pelo comentário. Vou preparar o material para o volume do segmento esférico. Obrigado pela sugestão!

    Abraços!

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  4. Olá Matheus!
    Eu uso o Corel X3 para fazer figuras como a deste post. Depois de pronta é só exportá-la no formato jpeg.
    Para as figuras nas "construções geométricas", usei o software chamado "régua e compasso".
    Em paralelo uso o Irfan View como visualizador de imagens. Este possui muitos recursos do tipo recortar uma parte da imagem, redimensionar, ...

    Se precisar de alguma informação mais específica é só avisar.

    Um abraço!

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  5. Olá parceiro,

    Muito obrigado pelas sugestões, já estou fazendo download de todos eles kkkk e mais o illustrator da Adobe. Só espero que aprenda a usar eles rsrsrs.

    Abraços

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  6. Se precisar de ajuda, tento esclarecer dentro de meu conhecimento! Um abraço!

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  7. Olá, Kleber!
    Estou me graduando em Física, visitei seu blog e gostei muito de suas demonstrações. Com certeza esarei atento à suas atualizações.
    Um abraço, meu caro!

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  8. Obrigado Felipe pela visita e comentário. A sessão de Física ainda tem que evloir mais por aqui, mas aos poucos vou adicionando.

    Um abraço!

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  9. Olá Kleber, estou tentando resolver um problema que está relacionado a este post. Calcular o volume de líquido em um tanque cilíndrico horizontal, cujas extremidades são calotas esféricas. Dada uma altura "h" de líquido dentro do tanque, consegui calcular o volume da parte cilíndrica. Porém, estou tendo muita dificuldade em calcular o volume que fica nas calotas. Será que vc pode dar uma luz??? Muito obrigado e parabéns pela página!

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  10. Olá Paulo,
    Bem, a princípio não tenho uma solução para você, vou ter que quebrar a cabeça aqui também. Agora uma pergunta: as calotas esféricas das extremidades são semi-esferas? ou tem medida qualquer?

    Abraços!

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  11. Obrigada pela postagem!
    Vilma

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  12. Eu que agradeço sua visita e comentário. Volte sempre. Um abraço.

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  13. Anônimo7/4/12 15:47

    É possível calcular o volume de um cone deitado e parcialmente cheio, por integral simpels? caso positivo,me mostre esta demonstração. Obrigado, boa tarde.

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  14. Olá. Não sei ainda, pois nunca fiz esse tipo de problema. Estou trabalhando algumas ideias. No caso, se o cone está deitado com sua altura paralela ao eixo dos x, então quando estiver parcialmente cheio com algum líquido, a seção cônica gerada por este líquido será uma hipérbole. Conhecendo a altura deste líquido, minha ideia é integrar a função nestes limites. Vamos ver no que dá.

    Abraços.

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  15. Parabéns, super didático e acrescentou nos meus conhecimentos, bom trabalho pela divulgação

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  16. Adorei sua demonstração! Mas poderia esclarecer uma dúvida? Existe uma outra forma de expressar o volume da calota. Não seria em função do raio da esfera mas do raio da circunferência, raio a. Poderia me ajudar a entender como eu chego nessa expressão?

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