13/03/2010

Aplicação de Derivada para Determinação de Máximos e Mínimos

Segue abaixo alguns exemplos de otimização fazendo uso de derivadas. Vejam que para encontrarmos os valores de máximo ou mínimo, primeiramente devemos encontrar a função que nos leva à solução do problema, calcular sua derivada, obtendo uma função dependendo somente de uma variável. Em seguida, igualamos a zero, obtendo uma equação. Agora é só calcular seu valor e obteremos o valor de máximo ou de mínimo.

Exemplo 1: Dado um cone de geratriz igual a 5cm, determinar suas dimensões de modo que se tenha o maio volume possível.

Primeiramente, vamos esboçar um cone genérico, destacando o triângulo retângulo:

Figura1.1[Figura 1-1]

Lembremos que o volume de um cone é dado por:

clip_image002

clip_image004

[Veja a demonstração aqui]

Dos dados fornecidos no enunciado do problema, temos que:

clip_image002[4]

clip_image004[4]

clip_image006

Substituímos o valor de r da (1.2) na fórmula do volume de cone:

clip_image008

clip_image010

clip_image012

Agora, vamos calcular a deriva da função V(h):

clip_image016

clip_image018

Igualamos a zero para obtermos uma equação que nos leva ao valor de máximo:

clip_image020

clip_image022

clip_image024

clip_image026

clip_image028

Já encontramos a altura h do cone. Para encontrarmos o raio r de sua base, substituímos o valor de h na (1.1):

clip_image030

clip_image032

clip_image034

clip_image036

clip_image038

clip_image040

clip_image002[4]

O cone que possui geratriz igual a 5cm e que possui o maior volume é o de medidas:

clip_image002[8]

clip_image046


Exemplo 2: Deseja-se confeccionar uma trave para um campo de futebol com uma viga de 18m de comprimento. Encontre as dimensões para que a área do gol seja máxima.

Vamos esboçar um desenho de uma trave genérica:

Figura2-1b[Figura 2-1]

Pelos dados fornecidos pelo enunciado do problema, temos que:

clip_image002[6]

clip_image004[6]

A área do gol é dada pela fórmula da área do retângulo formado:

clip_image002[10]

Substituímos a (2.1) na (2.2), obtendo:

clip_image008[4]

clip_image010[4]

Calculamos, agora, a derivada da função A(x):

clip_image014[4]

Igualando a zero, obtermos uma equação linear que nos leva ao cálculo de máximo:

clip_image002

clip_image002[4]

clip_image002[6]

clip_image022[4]

Encontramos a altura x da trave. Para encontrarmos sua altura, substituímos o valor de x na (2.1):

clip_image002[8]

clip_image002[12]

clip_image002[14]

clip_image002[16]

Portanto, a trave deverá ter altura de 4,5m e largura de 9m para que a área de gol seja a maior possível.

Observação: As dimensões oficiais de uma trave de futebol é 7,32m de largura entre os postes e 2,44m de altura.


Exemplo 3: Um fabricante de caixas de papelão pretende fazer caixas sem tampas a partir de folhas quadradas de cartão com área igual a 576cm2, cortando quadrados iguais nos quatro cantos e dobrando os lados para cima. Determinar o lado do quadrado que deve ser cortado para se obter uma caixa com o maior volume possível.

Interpretando o enunciado, podemos esboçar:

Figura3-1 [Figura 3-1]

Como a área total é de 576cm2, o lado da folha é:

clip_image002[8]

clip_image004[8]

clip_image006[6]

O volume da caixa será dado por:

clip_image008[6]

clip_image010[6]

clip_image012[6]

clip_image014[6]

clip_image016[6]

Calculamos agora a derivada da função V(x):

clip_image018[6]

Igualamos a zero, obtendo a equação quadrática:

clip_image002[18]

Dividimos a equação por 12, obtemos:

clip_image022[6]

clip_image024[6]

clip_image026[6]

clip_image028[6]

clip_image030[6]

clip_image032[4]

Encontramos dois valores para x mas vejam que somente x2 satisfaz o problema, já que se temos o lado da folha igual a l = 24 – 2x, se substituirmos x1, obtermos um lado nulo.

Então a caixa deverá ter as dimensões de:

Lado:

clip_image034[4]

clip_image036[4]

clip_image038[4]

Altura:

clip_image040[4]

clip_image042[4]


Exemplo 4: Dividindo um arame de comprimento L em duas partes, faz-se com uma das partes uma circunferência e com a outra um quadrado. Determinar o ponto em que se deve cortar o arame para que a soma das áreas geradas pelo quadrado e circunferência seja mínima.

Vamos fazer uma figura representativa:

Figura4-1[Figura 4-1]

Vamos adotar que a parte do arame de comprimento x será a da circunferência C e que a parte do arame de comprimento L – x  será do perímetro P do quadrado. Então temos:

O comprimento da circunferência é dado por:

clip_image002[10]

clip_image004[10]

clip_image002[20]

A área do círculo é dada por:

clip_image008[8]

Substituindo (4.2) na (4.1), obtemos:

clip_image010[8]

clip_image012[8]

Do quadrado, temos:

clip_image014[8]

clip_image016[8]

clip_image018[8]

A área do quadrado é dada por:

clip_image020[8]

Substituindo (4.4) na (4.5), obtemos:

clip_image022[8]

clip_image024[8]

Queremos que a soma das áreas do círculo e do quadrado seja mínima, então somamos as duas áreas, dadas pelas (4.3) e (4.6):

clip_image026[8]

clip_image002[24]

clip_image030[8]

clip_image032[6]

Calculamos agora, a derivada da função AT (x). Vejam que a função está em termos de x e πL2 é uma constante:

clip_image034[6]

clip_image036[6]

clip_image002[26]

Igualamos a zero e obtemos a equação:

clip_image002[28]

clip_image042[6]

clip_image044[4]

clip_image046[4]

clip_image048

Portanto, o arame deverá ser cortado no ponto:

clip_image048[1]


Exemplo 5: Dentre todos os retângulos de perímetro 64cm, encontre as medidas de um em que sua áreas seja máxima.

Temos o retângulo:

Figura5-1[Figura 5-1]

O perímetro é dado por:

clip_image002[12]

clip_image004[12]

clip_image006[10]

Da (5.1) obtermos:

clip_image002[30]

A área do retângulo é dada por:

clip_image010[10]

Substituindo (5.2) na (5.3), obtemos:

clip_image012[10]

clip_image002[32]

Calculamos agora a derivada da (5.4):

clip_image016[10]

Igualamos a zero obtendo a equação:

clip_image018[10]

clip_image020[10]

clip_image022[10]

Agora que já encontramos o valor de um dos lados do retângulo, substituímos o valor encontrado na (5.2):

clip_image024[10]

clip_image026[10]

clip_image028[10]

Com este resultado, concluímos que, para que a área seja máxima, o quadrilátero pedido é um quadrado de lado 16cm.


Exemplo 6: Dada a figura abaixo, encontre as dimensões do retângulo destacado para que sua área seja máxima.

Figura6-1[Figura 6-1]

Temos que encontrar ema equação em termos de x e y. Por semelhança de triângulo temos:

Figura6-2

[Figura6-2]

clip_image002[14]

clip_image004[14]

clip_image006[12]

A área do retângulo é dada por:

clip_image002[34]

Substituímos o valor de x na (6.2):

clip_image010[12]

clip_image012[12]

Calculamos sua derivada:

clip_image014[12]

Agora, igualamos a zero:

clip_image016[12]

clip_image002[36]

clip_image020[12]

clip_image022[12]

Substituímos o valor de y na (6.1):

clip_image024[12]

clip_image026[12]

clip_image028[12]

Portanto, para que o retângulo tenha área máxima, seus lados devem medir 3 e 4 e sua área será de 12 unidades de área.


Exemplo 7: Observando a figura abaixo, encontre o valor de x para que a área sombreada seja máxima.

Figura7-1-b [Figura 7-1]

A área sombreada será dada pela diferença das áreas:

clip_image002[16]

Vamos encontrar a área AI :

clip_image004[16]

clip_image006[14]

Agora vamos encontrar a área AII :

clip_image008[14]

clip_image010[14]

Substituímos as (7.2) e (7.3) na (7.1), encontrando a função quadrática:

clip_image012[14]

clip_image014[14]

Calculamos sua derivada:

clip_image016[14]

Igualamos a zero:

clip_image002[38]

clip_image020[14]

clip_image022[14]

Agora já podemos encontrar os valores dos lados dos dois triângulos I e II, mas ainda falta encontrar o valor da hipotenusa:

Figura7-2[Figura 7-2]

Do triângulo I temos:

clip_image002[40]

clip_image004[18]

clip_image006[16]

clip_image008[16]

Do triângulo II temos:

clip_image010[16]

clip_image012[16]

clip_image014[16]

clip_image016[16]

Logo os triângulos possuem as medidas de:

Figura7-3[Figura 7-3]


Exemplo 8: Determine a medida do raio e da altura de um cone que contém uma esfera de raio 8 unidades e com volume mínimo.

Figura8-1[Figura 8-1]

Analisando a figura, podemos destacar dois triângulos retângulos e verificar suas semelhanças:

Figura8-2-b[Figura 8-2]

clip_image002[20]

clip_image004[20]

clip_image006[18] (8.1)

Por semelhança de triângulos, temos:

clip_image008[18]

clip_image010[18]

Elevando ambos os membros ao quadrado, eliminamos a raiz:

clip_image012[18]

clip_image014[18]

clip_image016[18]

O volume de um cone é dado por:

clip_image018[16]

Substituímos a altura h = y + 8 e a (8.3) na (8.4), obtendo:

clip_image020[16]

Notem que temos uma função quociente do volume em função de y. Calculemos sua derivada (veja demonstração aqui):

clip_image002[3]

clip_image024[14]

clip_image026[14]

clip_image028[14]

clip_image030[10]

clip_image002[48]

clip_image002[46]

Agora, podemos igualar a zero, mas observem que o valor de y deve ser diferente de 8 e de 0:

clip_image036[8]

Vejam que a (8.6) nos dá uma equação composta por uma razão entre duas equações, onde nos leva a uma igualdade a zero. Mas como o denominador não deve ser igual a zero, nos resta que a equação do numerador seja igual a zero. Neste caso, também descartamos 64π, pois é uma constante. Assim, obtemos uma equação quadrática:

clip_image038[8]

clip_image040[8]

clip_image042[8]

clip_image044[6]

clip_image046[6]

clip_image048[6]

Vejam que y2 não nos interessa, portanto, tomamos 24 como valor de y.

Para determinarmos as medidas do cone, tomamos a altura do cone, dada por:

clip_image050

Agora vamos determinar o raio da base do cone, utilizando a (8.2):

clip_image052

As medidas do raio da base do cone e de sua altura são:

clip_image054

clip_image056


Veja mais:

Demonstração da Derivada da Função Quociente
Demonstração da Derivada da Função Produto
Caixa sem Tampa de Volume Máximo no blog Fatos Matemáticos
Caixa com Tampa de Volume Máximo no blog Fatos Matemáticos

18 comentários:

  1. Muito bom o post e obrigado pelas citações.

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  2. Excelente. Como é fascinante o raciocinio matemático quando a teoria flui de forma tão clara como a apresentada.

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  3. Obrigado amigo pelo comentário e pelo reconheciemnto do meu trabalho.

    Um abraço!

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    Respostas
    1. Este comentário foi removido pelo autor.

      Excluir
    2. Olá Romário, veja este exemplo, só muda os valores:

      http://br.answers.yahoo.com/question/index?qid=20110704171725AA4BPUj

      Abraços.

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  4. No seu primeiro exemplo você errou quando achou o valor do raio, pois era para ter dado 5 vezes raiz quadrada de 2 sobre RAIZ QUADRADA de 3, que racionalizando teremos 5 vezes raiz quadrada de 6 sobre 3.

    Att, Gustavo.

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    Respostas
    1. Verdade Gustavo. Corrigido. Obrigado por avisar. Um abraço!

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  5. Professor, antes de mais nada, muito obrigado por seu altruísmo de dividir conhecimento. Além de bastante claro, é um primor de didática.

    Caro professor, estou com uma dúvida. No exemplo 4, no desenvolvimento (4.3), não seria A = (x2) / 4pi? Não estaria faltando a letra grega no denominador?

    Desculpa se estou confundindo as coisas e fazendo perder seu tempo.

    Abraço
    Mauro

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  6. Olá Mauro, obrigado por seu comentário. Sua dúvida procede, pois realmente faltou o $\pi$ no denominador. Deve ter sido um erro de digitação, já que mais abaixo o $\pi$ volta... vou arrumar esta passagem.

    Um abraço!

    ResponderExcluir
  7. KLEBER, QUE BOAS ORIENTAÇÕES AMIGO......VOU TENTAR FAZER A PROVA DO PROFMAT PELA TERCEIRA VEZ.....O QUE FAÇO PARA PASSAR MEU AMIGO... SOU PROFESSOR DE MATEMÁTICA NO ENSINO MÉDIO......AQUI NA BAHIA......COLEGIO ESTADUAL......MAIS MINHA GRADUAÇÃO FOI A CONTINUADA APENAS 3 ANOS...LOGO TENHO DIFICULDADES EM DESAFIOS MATEMÁTICOS...E TAMBÉM TRABALHO COM MATEMÁTICA E FÍSICA...........UM GRANDE ABRAÇO

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  8. No exemplo 6, como ficaria se um dos lados do retângulo fosse sobre a hipotenusa?

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  9. Muito Bom..Parabéns!!!

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  10. Eu queria que, se possível, você me ajudasse nessa questão Kleber:
    Deve-se fazer uma caixa retangular com base quadrada e sem tampa. Achar o volume da máxima caixa que pode ser feita com 1200 pés quadrados de material.

    Obrigado! (:

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    Respostas
    1. Matheus, veja a resolução na imagem neste link: http://img51.imageshack.us/img51/7263/dv5d.jpg
      Para o volume, multiplicar área da base pela altura, acho que ficou faltando na resolução...

      Abraços.

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  11. Muito bom o post. Gostaria de saber o porquê de igualar a derivada à zero e a relação com aquela fórmula do Yvértice para calcular o máximo da área.

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    Respostas
    1. Flávio, Veja este comentário feito pelo Prof. Paulo Sérgio C. Lino:

      Primeiramente tem que ficar claro que nem todos os problemas de otimização envolvem funções quadráticas e por isso, o conceito de derivada é adequado.

      Antes de tudo, temos que definir o que é um ponto de máximo local e um ponto de mínimo local. Dizemos que um $P_0(x_0,f(x_0))$ sobre um gráfico de um função $f$ é um ponto de máximo local se $f(x) \leq f(x_0)$ para todo $x$ próximo ou numa vizinhança de $x_0$. A definição de ponto de mínimo local é análoga. E o que isso tem haver com derivadas? Aí surge o teorema de Fermat, que afirma que nos pontos de máximos e mínimos locais de uma função $f$, a derivada é nula. Por isso, que anulamos a derivada da função para encontrar tais pontos. Além disso, os pontos que anulam a derivada são chamados de pontos críticos. Nem todo ponto crítico é um ponto de máximo ou mínimo local, pois eles podem ser pontos de inflexão.

      Excluir

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