Multiplicidade de uma raiz

Quando resolvemos uma equação pode acontecer de todas as raízes serem diferentes ou não. A equação:

apresenta cinco raízes, sendo duas igual a 2 e três igual a –1 .

Dizemos, então, que 2 é a raiz múltipla da equação ou com multiplicidade 2 e –1 é a raiz tripla ou com multiplicidade 3.

Escrevendo a equação na forma fatorada, temos:

A multiplicidade da raiz é o expoente do fator onde ela aparece.

Ao dizermos que 2 é a raiz dupla da equação estamos dizendo que:

é divisível por x – 2 e por (x – 2)² e não divisível por (x – 2)³.

De um modo geral, dada a equação P(x) = 0, dizemos que r é a raiz de multiplicidade m, (m ∈ N*) se, e somente se:

Em outras palavras, r é raiz de multiplicidade m se P(x) for divisível por

(x – r)^m  e não divisível por (x – r)^m+1, isto é, se P(x) decomposto apresentar somente $m$ fatores iguais a x – r.

Quando m = 1,2,3,..., dizemos que a raiz é, respectivamente, simples, dupla, tripla,...