26 de dez de 2009

Demonstração dos pontos de Máximo e Mínimo de uma Função Quadrática

Veremos nesta postagem como determinar os pontos de máximo e mínimo de uma função de segundo grau.


Definição $1$: Valor de máximo

Dizemos que o número $Y_M \in Im(f)$ é o valor de máximo da função $y=f(x)$ se, e somente se, $Y_M \geq y$, $\forall\ y \in Im(f)$. O número $Y_M \in D(f)$, tal que $Y_M=f(X_M)$ é chamado de ponto de máximo da função.

Definição $2$: Valor de mínimo

Dizemos que o número $Y_m \in Im(f)$ é o valor de mínimo da função $y=f(x)$ se, e somente se, $Y_m \leq y$, $\forall\ y \in Im(f)$. O número $Y_m \in D(f)$, tal que $Y_m=f(X_m)$ é chamado de ponto de mínimo da função.

Teorema $1$

Se $a<0$, a função quadrática $y=ax^2+bx+c$ admite o valor máximo $\displaystyle Y_M=-\frac{\Delta}{4a}$ para $\displaystyle X_M = -\frac{b}{2a}$.

Teorema $2$

Se $a>0$, a função quadrática $y=ax^2+bx+c$ admite o valor mínimo $\displaystyle Y_m=-\frac{\Delta}{4a}$ para $\displaystyle X_m=-\frac{b}{2a}$.

Demonstração

Para esta demonstração, vamos primeiramente transformar a função quadrática $y=f(x)=ax^2+bx+c$ em sua forma canônica. Iniciamos reescrevendo-a na seguinte forma:
\begin{equation*}
f(x) = ax^2 + \frac{ab}{a}x + \frac{ac}{a}
\end{equation*}
Colocando $a$ em evidência:
\begin{equation*}
f(x) = a\left[ x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} \right]
\end{equation*}
Se somarmos e subtrairmos um mesmo valor arbitrário de uma função, a mesma não sofrerá alteração em seu valor final. Utilizaremos um valor conveniente igual a $\displaystyle \frac{b^2}{4a^2}$:
\begin{equation*}
f(x) = a\left[x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} \right]\\
\ \\
f(x) = a\left[ \left( x^2+\frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}\right) - \left(\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}\right) \right]\\
\ \\
f(x) = a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right) \right]
\end{equation*}
Representamos $b^2-4ac$ por $\Delta$, que é o discriminante do triômio do segundo grau:
\begin{equation*}
f(x) = a\left[ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{\Delta}{4a^2}\right)\right]
\end{equation*}
Temos então que:
\begin{equation}
y = a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{\Delta}{4a^2}\right)\right]
\end{equation}
Se analisarmos a equação $(1)$ mais minuciosamente, podemos concluir que, se $a<0$, o valor de $y$ será tanto maior quanto menor for o valor da diferença:
\begin{equation}
\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{\Delta}{4a^2}\right)
\end{equation}
E dessa diferença dada em $(2)$, podemos concluir que:

$\bullet$ O valor $\displaystyle -\frac{\Delta}{4a^2}$ é constante, pois não depende da variável $x$, somente dos coeficientes $a$, $b$ e $c$.

$\bullet$ O valor $\displaystyle \left( x+\frac{b}{2a}\right)^2 \geq0,\ \forall \ x \in \mathbb{R}$, já que para quaisquer valores assumidos por $x$, $a$ e $b$, $\displaystyle \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2$ nunca será negativo, pois está elevado ao quadrado.

Reescrevemos a diferença dada em $(2)$ como:
\begin{equation}
\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2} = (x+M)^2 - k
\end{equation}
Atribuindo valores para $x$ de modo a averiguar para quais valores assumidos por $x$ leva a diferença $(3)$ ao menor valor possível:

Se $x = -M$, então $(-M+M)^2 - k = 0-k = -k$.

Se $x=1-M$, então $(1-M+M)^2 - k = 1-k$.

Se $x=2-M$, então $(2-M+M)^2 - k = 4-k$.

Se $x=-3-M$, então $(-3-M+M)^2 - k = 9-k$

Podemos notar que para qualquer valor diferente de $-M$ assumido por $x$, a diferença $(3)$ aumenta. Portanto, essa diferença assume o menor valor possível quando $\displaystyle \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=0$, ou seja, quando $\displaystyle -\frac{b}{2a}$. Então:
\begin{equation*}
y = a\left[ \left(-\frac{b}{2a}+\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right]\\
\ \\
y = a\left(0^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right)\\
\ \\
y = -\frac{\Delta}{4a}
\end{equation*}
Então, as coordenadas do vértice da parábola são:
\begin{equation*}
x = -\frac{b}{2a} \qquad \text{e} \qquad y=-\frac{\Delta}{4a}
\end{equation*}

Referências:

[1] Fundamentos de Matemática Elementar V1 - Gelson Iezzi

Veja mais:

Completando o quadrado
Método de resolução das equações de Sebá
Resolvendo equações quadráticas pelo método geométrico de Descartes

Imprimir


12 de dez de 2009

Código JavaScript Favoritos

Procurei por um bom tempo na net algum código para Adicionar a Favoritos que funcionasse tanto no Firefox como no Internet Explorer. Finalmente encontrei um e adicionei-o como um wideget neste blog (vejam no início na barra lateral).

O código abaixo foi testado no Firefox e no Internet Explorer e funciona em ambos:

 

<script language="JavaScript" type="text/JavaScript">

function favoritos() {

if ( navigator.appName != 'Microsoft Internet Explorer' )

{ window.sidebar.addPanel("Nome do seu blog","Endereço de seu blog",""); }

else { window.external.AddFavorite("Endereço de seu blog","Nome de seu blog"); } }

</script><a title="Rótulo da imagem" href="javascript:void(favoritos());"><img src="Endereço da imagem do ícone" border="0"></a>

 

O texto em vermelho é o nome de seu blog: no meu blog fica: O Baricentro da Mente

O texto em azul é o endereço de seu blog. no meu blog fica: http://obaricentrodamente.blogspot.com/

O texto em verde é o que aparecerá quando o ponteiro do mouse descansa sobre a imagem. No meu blog coloquei: Adicione o Baricentro aos Favoritos

O texto em laranja é o endereço da imagem que você colocará como ícone. Se quiserem utilize a mesma que usei neste link: http://i493.photobucket.com/albums/rr294/kkilhian/70iconefavoritos90.jpg

 

Vejam como está o código que coloquei no widget do meu blog:

 

<script language="JavaScript" type="text/JavaScript">

function favoritos() {

if ( navigator.appName != 'Microsoft Internet Explorer' )

{ window.sidebar.addPanel("O Baricentro da Mente","http://www.obaricentrodamente.blogspot.com",""); }

else { window.external.AddFavorite("http://www.obaricentrodamente.blogspot.com","O Baricentro da Mente"); } }

</script><a title="Adicione o Baricentro aos Favoritos" href="javascript:void(favoritos());"><img src="http://i493.photobucket.com/albums/rr294/kkilhian/70iconefavoritos90.jpg" border="0"></a>

 

Até +

 

.

O Princípio de Cavalieri

Bonaventura Cavalieri nasceu em Milão em $1.598$. Foi aluno de Galileu e atuou como professor da Universidade de Bolonha de $1.629$ até $1.647$, ano de sua morte.

A grande contribuição de Cavalieri à Matemática é o tratado Geometria indivisibilibus de $1.635$. Neste tratado é apresentado o seu método dos indivisíveis, cuja motivação direta se encontre nas tentativas de Kepler de achar certas áreas e certos volumes.

No entanto, é um pouco difícil de descobrir o que ele entendia por "indivisível". Tudo indica que um indivisível de uma porção plana dada é uma corda dessa porção e o indivisível de um sólido é uma secção desse sólido. Considera-se que uma porção plana seja formada por infinitas cordas paralelas. Então, argumentava Cavalieri, fazendo deslizar cada um dos elementos do conjunto das cordas paralelas de uma porção plana dada ao longo de seu próprio eixo, de modo que as extremidades das cordas ainda descrevam um contorno contínuo, a área da nova porção plana é igual à original, uma vez que ambas são formadas pelas mesmas cordas.

Um procedimento análogo pode ser aplicado a um sólido, formado por secções planas e paralelas. Que fornecerá um novo sólido com mesmo volume. Uma ilustração deste resultado pode ser demonstrada utilizando duas pilhas de moedas de mesmo formato: a primeira pilha fazendo um cilindro reto e a segunda com suas laterais deformadas:

[Figura 1: sólidos com moedas]

Obviamente que os volumes serão os mesmos, independentemente da geometria obtida pela deformação na segunda pilha de moedas, uma vez que são utilizadas moedas do mesmo formato e quantidades iguais para cada pilha.

Esses resultados, ligeiramente generalizados, fornecem os chamados Princípios de Cavalieri, que podem ser enunciados como:

$1)$ Se duas porções planas são tais que toda reta secante a elas e paralela a uma reta dada determina nas porções segmentos de reta cuja razão é constante, então, a razão entre as áreas dessas porções é a mesma constante. E isso nos leva a dizer que as áreas das duas porções são iguais.

$2)$ Se dois sólidos são tais que todo plano secante a eles e paralelo a um plano dado determina nos sólidos secções cuja razão é constante, então a razão entre os volumes desses sólidos é a mesma constante. Em outras palavras: dois sólidos com a mesma altura têm o mesmo se seccionados por um plano paralelo ao plano onde estão assentados, geram áreas iguais.

Figura 2_800
[Figura 2: comparação de dois sólidos]

Para ilustrar o Princípio de Cavalieri, primeiramente vamos tomar o caso de porções planas, determinando a área compreendida por uma elipse de semi-eixos $a$ e $b$. Considere a elipse:
\begin{equation}
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \:, \: \text{sendo}\: a>b
\end{equation}

E a circunferência:
\begin{equation}
x^2+y^2=a^2
\end{equation}
onde $a$ é o raio da circunferência.

Sendo as duas referidas ao mesmo sistema de coordenadas retangulares:
Figura 3_300
[Figura 3: circunferência e elipse]

Podemos reescrever a equação da elipse em função de $y$. Tomamos a equação $(1)$:
\begin{equation*}
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
\end{equation*}
Encontramos o $mmc$:
\begin{equation*}
\frac{x^2b^2+y^2a^2}{a^2b^2}=1
\end{equation*}
Desenvolvendo:
\begin{equation*}
x^2b^2+y^2a^2 = a^2b^2\\
y^2a^2 = a^2b^2 - x^2b^2\\
y^2 = \frac{b^2(a^2-x^2)}{a^2}
\end{equation*}
Chegando finalmente a:
\begin{equation}
y = \frac{b}{a} \cdot \sqrt{a^2 - x^2}
\end{equation}
Agora, reescrevemos a equação da circunferência em função de $y$:
\begin{equation*}
x^2+y^2=a^2\\
y^2=a^2-x^2
\end{equation*}
Encontrando:
\begin{equation}
y=\sqrt{a^2-x^2}
\end{equation}
Substituindo $(4)$ em $(3)$:
\begin{equation}
\sqrt{a^2-x^2}=\frac{b}{a} \cdot \sqrt{a^2-x^2}
\end{equation}

Vemos que a razão entre duas ordenadas correspondentes quaisquer da elipse e da circunferência é $b/a$. Pelo Princípio de Cavalieri concluímos que:
\begin{equation}
A_{\: \text{elipse}} = \frac{b}{a} \cdot A_{\: \text{círculo}}
\end{equation}
Hoje, fica fácil de verificar: sabemos que a área da elipse é dada por $A_{\: \text{elipse}}=\pi ab$ e a área do círculo é dada por $A_{\: \text{círculo}}=\pi a^2$. Substituindo na relação $(6)$, obtemos:
\begin{equation}
\pi ab = \frac{b}{a} \pi a^2
\end{equation}
Portanto, a razão entre duas cordas verticais correspondentes da elipse e da circunferência é $b/a$.

Agora, podemos demonstrar o Princípio de Cavalieri aplicado a sólidos para verificar o volume de uma esfera de raio$r$.

Considere na figura $4$ uma esfera de raio $r$ e uma anticlepsidra (sólido geométrico gerado a partir de um cilindro equilátero onde se subtrai dois cones opostos pelo vértice cujas bases coincidem com as bases do cilindro), assentados num mesmo plano$\alpha$. Seccionando ambos sólidos com um plano $\beta$ paralelo ao plano$\alpha$ a uma altura $h$ dos vértices dos cones:

Principio de Cavalieri_Short
[Figura $4$: Esfera e a anticlepsidra]

Esse plano $\beta$ secciona esfera gerando um círculo de raio s e a anticlepsidra gerando uma coroa circular.

Utilizando da geometria elementar, vamos mostrar que ambas as secções têm área igual a $\pi (r^2-h^2)$.

Da esfera, podemos destacar o triângulo retângulo abaixo e utilizar o Teorema de Pitágoras para escrever o raio $s$ em função de $r$ e $h$.

Figura 5_200

[Figura $5$: triângulo retângulo]

\begin{equation}
r^2=h^2+s^2 \Longrightarrow s^2=r^2-h^2
\end{equation}
A área da secção circular será dada por:
\begin{equation}
A=\pi s^2
\end{equation}

Substituindo $(8)$ em $(9)$, obtemos:
\begin{equation}
A=\pi(r^2-h^2)
\end{equation}

Agora falta mostrar que a área da coroa circular é igual à área da secção circular. Da anticlepsidra destacamos o triângulo retângulo:
Figura 6_00
[Figura $6$: triângulo retângulo]

Por semelhança de triângulos temos que:
\begin{equation}
\frac{r}{h}=\frac{r}{t}
\end{equation}
Segue que
\begin{equation}
t=h
\end{equation}
A área da coroa será dada pela diferença entre a área do círculo de raio $r$ e o círculo de raio $t$:
\begin{equation}
A_C=\pi r^2 - \pi t^2
\end{equation}
Substituindo $(12)$ em $(13)$, obtemos:
\begin{equation}
A_C=\pi (r^2-h^2)
\end{equation}
Provamos que as áreas das secções geradas pelo plano $\beta$ nos sólidos são iguais. Segue-se, então, que pelo Princípio de Cavalieri, que os dois sólidos têm volumes iguais. Logo o volume $V$ da esfera é igual ao volume $V$ da anticlepsidra:
\begin{equation}
V_{esfera} = V_{cilindro} - 2V_{cone} = A_b \cdot - 2\cdot \frac{A_b \cdot h}{3}
\end{equation}
Como no cilindro equilátero a altura $h$ é igual a $2r$, temos:
\begin{equation}
V_{esfera}=\pi r^2 \cdot 2r - \frac{2}{3}\cdot \pi r^2 \cdot r = 2\pi r^3- \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi r^3
\end{equation}
O que é feito no Princípio de Cavalieri é uma comparação entre dois sólidos. Mas, temos que escolher convenientemente esses sólidos para obtermos resultados satisfatórios. Vejam que, se compararmos dois prismas, se seccionarmos por um plano paralelo em qualquer altura dos sólidos as áreas geradas serão constantes:
Figura 2_800
[Figura $7$: Comparação entre dois prismas]

No caso de uma comparação entre duas pirâmides seccionadas por planos paralelos, notamos que quanto mais próximo do vértice os sólidos forem seccionados por um plano paralelo, menor será a área gerada. No entanto, esta variação na área será constante para as duas pirâmides. Podemos dizer que a área da secção será $kA_b$ onde $k$ é uma constante e $A_b$ é a área da base. Então a área de cada secção será variável para cada ponto da altura da pirâmide:
Pirâmides
[Figura $8$: Comparação entre duas pirâmides]

Mas, se tomarmos um prisma e uma pirâmide, o Princípio de Cavalieri falha, justamente porque no prisma a área gerada será a mesma independentemente de onde o plano seccioná-lo e já na pirâmide a área gerada será variável, o que torna o método inconsistente. Vejam que, se tomarmos o raio $r$ da base dos dois sólidos como iguais, no cilindro as áreas geradas pelos planos $\beta$ e $\gamma$ são iguais à da base. Já na pirâmide as áreas geradas pelos planos $\beta$ e $\gamma$ são diferentes, diminuindo ao se aproximar do vértice.
Prisma Pirâmide
[Figura $9$: comparação entre prisma e pirâmide]

Os Princípios de Cavalieri representam ferramentas poderosas para o cálculo de áreas, volumes e ademais, sua base intuitiva pode facilmente tornar-se vigorosa com o cálculo integral moderno. Com a aceitação desses princípios como evidentes, intuitivamente, podem-se resolver muitos problemas de mensuração que normalmente requeriam técnicas avançadas de cálculo.

Veja mais:

Demonstração da Fórmula do Volume de Pirâmide
Demonstração da Fórmula do Volume da Esfera
Volume de um Segmento Esférico
Volume de um Elipsóide pelo Princípio de Cavalieri no blog Fatos Matemáticos
 
Imprimir


Demonstração da Fórmula da Área da Esfera

Uma construção dos elementos de área que simplifica as operações com Integral única em coordenadas polares.

A demonstração da fórmula de cálculo da área de uma superfície esférica é algo que sempre instiga os estudantes e é comum encontrar, na rede, perguntas de internautas sobre tal demonstração. Relutando em olhar as demonstrações existentes, tentei algumas vezes chegar a alguma e não consegui. Recentemente, ao descascar uma laranja, retomei o desafio (de fazer sem olhar) construindo o elemento diferencial de área como na Figura 1; aí foi fácil, após a transformação para coordenadas polares, eliminando as retangulares. Porém, ao procurar pela demonstração, para comparar, fiquei surpreso: em LEITHOLD, L. O Cálculo com geometria analítica. 3 ed. Harbra, v.2, na página 59 (integração múltipla em coordenadas esféricas), onde esperava encontrar, não tem; o mesmo em James Stewart – Cálculo. v.2. Na rede, o que encontrei, além de muitas perguntas sobre assunto, foi a derivação do volume. Se já não tivesse feito, iria pensar: humm! A coisa deve ser feia e cabeluda! Além disso, alguns colegas relataram não ter visto, ainda, tal construção do elemento de área. Isso tudo, então, me motivou a apresentar o que segue.

Acredito que outras pessoas já devam ter desenvolvido a mesma demonstração, no entanto, parece difícil de ser encontrada publicada em algum meio. A construção do elemento diferencial de área pode ser considerada análoga à construção que se faz em coordenadas esféricas, ao eliminar a integração em teta (θ) (não sendo necessário integrar para obter a área de cada anel, uma vez que a largura de cada anel é constante) e integrar apenas em fi (φ). Ou seja, a demonstração apresentada a seguir corresponde a se trabalhar com o ângulo complementar a fi (φ).

Elemento diferencial de Área (dA)

Descascando uma laranja em anéis (e não helicoidais), fora do equador, as bordas de cada anel serão circunferências com raios distintos, uma maior que a outra:

[Figura 1: Laranja descascada em anéis]

A largura do anel pode ser descrita pela forma simplificada do comprimento de arco:

clip_image002

onde l é a largura do anel, r é o raio da circunferência e dθ é a variação infinitesimal do ângulo central.

Esquema área superfície esférica

[Figura 2: Esquema]

Mas, se estes anéis tiverem larguras infinitesimais, os raios se confundem e o perímetro do anel de largura infinitesimal é dado por:

clip_image002[4]

Vejam que o perímetro C está em função do raio x. Fazendo uma transformação para coordenadas polares, destacamos na figura 3 o triângulo retângulo da figura 2:

[Figura 3: Triângulo retângulo]

Temos que:

clip_image002[6]

clip_image002[8]

Substituindo a equação ( II ) em ( I ), obtemos:

clip_image002[10]

Vejam que agora o perímetro C está em função do ângulo central θ. Então, a área da superfície do anel de largura infinitesimal será dada pelo produto de seu perímetro C por sua altura l:

clip_image002[12]

clip_image002

clip_image006

Com 0 < θ < π/2

Como o ângulo θ varia de 0 a π/2, obtemos anéis da esfera somente na parte superior ao eixo dos x, e, conseqüentemente, somente a metade da área de sua superfície. Para encontrar a área total, basta multiplicar por 2. Aplicamos, então, a integral definida:

clip_image002[16]

clip_image002[18]

clip_image002[20]

clip_image002[22]

clip_image002[24]

clip_image002[26]

Vejam que o cálculo poderia ter terminado na segunda linha!

A separação didática que os autores normalmente fazem entre os diversos sistemas de coordenadas, com os respectivos exercícios pertinentes a cada um sendo propostos de modo bem “separadinho” pode inibir que o leitor imagine o que foi apresentado acima. Ou seja, tratando, nos tópicos relacionados a coordenadas polares, quase que somente de figuras planas (de espirais a lemniscatas) e, no caso de coordenadas esféricas, com os três parâmetros – mais complicados e com integração em duas e três dimensões – alguns leitores podem ser levados a pensar que a construção do elemento de área só possa ser possível com os recursos de coordenadas esféricas ou retangulares em três dimensões.

Ao ver a resposta que um internauta recebeu (“...derivando o volume ... chagamos assim à fórmula da área. Cqd.”) cheguei a imaginar: a coisa deve ser feia, estão derivando o volume!

E então, como fica o volume? Bom, essa já tem pra todo lado.

O que mais me incomodava era o fato de conseguir fazer a demonstração da fórmula do volume (em “x” e “y”, empregando discos) enquanto a área, essa não saía!

É claro que sabendo a fórmula da área, para fazer o volume, basta partir da 3ª ou 4ª linhas abaixo. Mas é preciso saber como chegar nela!

clip_image002[28]

clip_image002[30]

clip_image002[32]

clip_image004[4]

clip_image006[4]

clip_image008

clip_image010

Para o volume, veja que a integral interna já está pronta acima. Ou seja, poderíamos começar na 3ª linha. Creio que todos sejam capazes de imaginar o que representa o termo A(r)dr.

Vejam outra demonstração do Volume de esfera aqui.

Os referidos autores, nas obras citadas acima, destacam a importância de se optar por um sistema de coordenadas apropriado, numa integralização desse tipo. Experimente fazer isso em coordenadas retangulares e vai ver que a coisa, realmente, fica feia.

Na verdade, os autores consideram tão evidente e fácil a demonstração que nem, se quer, chegam a propor tal exercício em suas obras! Certamente, com medo de ofender o leitor. Os problemas lá propostos são, sim, muito mais complexos.

Esta demonstração foi elaborada por um amigo:

Engº. Agrônomo Leandro Salles Nogueira
Colégio Cenecista Walter Francklin – Três Rios, RJ
C.E. Dr. Valmir Peçanha – Três Rios, RJ
Ex-monitor de Cálculo I e II – Departamento de Matemática da UFV
lsnogueira82@hotmail.com


Veja mais:

Demonstração da Fórmula do Volume da Esfera
Demonstração da Área do Círculo
Uma Demonstração Para a Área do Pentágono Regular

Redes Sociais

Arquivo do Blog