28/06/2009

Demonstração da Fórmula do Volume de Tronco de Cone a Partir do Volume de Pirâmide

Se imaginarmos uma pirâmide de infinitos lados, isso nos leva a um caso particular de pirâmide: o Cone.

A demonstração para a Fórmula do Volume de Tronco de Cone será feita de duas formas: algebricamente e por semelhança de triângulos.

 

1) Demonstração algébrica da Fórmula do Volume de Tronco de Cone

Partindo da fórmula demonstrada de Tronco de Pirâmide, temos:

clip_image002

Como no tronco de cone as áreas das bases AB e Ab são:

clip_image002[4]

clip_image004

Podemos reescrever a fórmula do Volume de Tronco como:

clip_image002[6]

clip_image002[8]

clip_image004[4]

clip_image006

Que é a Fórmula para o cálculo do Volume do tronco de Cone.

 

2) Demonstração por semelhança de triângulos da Fórmula do Volume de Tronco de Cone

Dado o Cone abaixo, seccionado paralelamente a uma altura H de sua base.

Cone

Destacamos o triângulo retângulo:

Semelhança triângulos[9]

Por semelhança de triângulos, temos:

clip_image004[6]

Daí temos:

clip_image006[4]

clip_image008

clip_image010

clip_image012

clip_image014

Temos que:

clip_image016

clip_image018

clip_image020

clip_image022

Substituindo (I) em (II), obtemos:

clip_image024

clip_image026

clip_image028

clip_image030

Que é a Fórmula para o cálculo do Volume do tronco de Cone.´


Veja mais:

Demonstração da Fórmula do Volume de Cone por Semelhança de Triângulo
Demonstração da Fórmula de Tronco de Pirâmide
Demonstração da Fórmula do Volume da Esfera

COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: Demonstração da Fórmula do Volume de Tronco de Cone a Partir do Volume de Pirâmide. Publicado por Kleber Kilhian em 28/06/2009. URL: . Leia os Termos de uso.


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29 comentários:

  1. poderia dar exemplos de calculos do tronco de cone de numeros exatos

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  2. Olá,
    Me preocupei mais em demosntrar a fórmula usada, pois não é tão comum encontrá-la por aí. Agora, exemplicando seu questionamento, imagine um tronco de pirâmide cuja altura mede 3,cujos raios das bases maior e menor medem 2 e 1, respectivamente. Calculando o volume do tronco, obteremos 7PIuv, onde uv é qualquer unidade volume.

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  3. Quem não sabe fazer essa demonstração? Minha sobrinha de 7 anos fez com as mãos amarradas e um lápis na boca! Resolve uma integral ae!

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  4. Bem, sua sobrinha pode fazer tal demonstração. Mas pelo jeito você não sabe. Tanto é verdade que andou procurando pela net até encontrar em meu blog.
    Neste link tem a demosnstração do volume de cone por integral:
    http://obaricentrodamente.blogspot.com/2009/06/demonstracao-da-formula-do-volume-de.html

    Mas como você visitou, creio, 3 páginas deste humilde blog, acho que a encontrou.

    Mas veja só: a demosntração do link acima é do volume de pirâmide. Para adaptá-la ao volume de tronco, ao invés de considerar X0 como a origem, considere um X qualquer.

    Até +

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  5. massa esse blog...
    parabéns

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  6. Ô Amigo, obrigado pelo comentário, é de grande valor para mim.

    Abraços!!

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  7. Gostei da demonstração, são pooucos livros que a fazem, inclusive o Dante nõ faz em seu livro, ele prefere usar o princípio de cavalieri, quanto ao comentário de Juvenal ele deve ser mais um quase matemático da história que não sabe ver o sucesso de seus companheiros de profiissão!

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  8. Olá Lyon. Não vi ainda esse livro do Dante, mas já vi em muitos outros livros que a demonstração é meio obscura. Procurei fazer esta demonstração algebricamente e por semelhança de triângulos para melhor esclarecimento. Obrigado pelos elogios e por dispor de um tempo para escrever estas palavras.

    Neste link tem um post sobre o Princípio de Cavalieri:

    http://obaricentrodamente.blogspot.com/2009/12/o-principio-de-cavalieri.html

    Um abraço!

    Até +

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  9. joão carlos27/5/10 20:15

    Kleber, parabéns,muito bom o seu trabalho.

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  10. Anônimo8/7/10 11:31

    boa tarde, preciso ajuda para achar volume de tronco formado por dois cones elipsoides....alguem tem solução?
    obrigado.
    Joao Teo

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  11. Olá amigo. Bem ,creio que você está fazendo alguma confução: cones e elipsóides são figuras diferentes; o cone é gerado a partir da rotação de um triângulo e o elipsóide é gerado a partir da rotação de uma elipse.
    Por favor exponha seu problema de maneira que puder que tentarei ajudar.
    Abraço.

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  12. Blz cara! Perdi a aula de Calculo que falou sobre esta demonstração! Ajudou muito! Siga em frente!

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  13. Anônimo1/6/11 21:08

    Olá, Kleber Kilhian!
    Como vai? É um belo trabalho o seu Blog sobre Matemática...Eu que gosto de livros antigos nessa àrea dos anos de 1923 em diante, os quais poderia dizer, raros, e que são difíceis de encontrar ,hoje em dia, que não seja em uma biblioteca encontrei aqui de uma forma bastante elucidativa...Parabéns! Abraços, Ignacio.

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  14. Olá Ignácio,
    Agradeço seu comentário. Também gosto bastante de história da matemática e de como esta ciência veio se desenvolvendo durante séculos.
    Procura fazer o melhor que posso, e cada dia aprendo um poci mais.
    Um abraço.

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  15. incrivel, parabens

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  16. Ótima demonstração!!!

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  17. adorei teu blog,aproveitando a oportunidade gostaria que me demonstrasse como calcular a raiz cubica manualmente,isto é sem maquina de calcular

    joel henrique

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  18. Prof. Joel, veja nos comentários do arigo do link abaixo, tem um procedimento para encontrar raiz cúbica:
    http://matemagicasenumeros.blogspot.com.br/2011/02/extrair-raiz-quadrada-sem-usar.html

    Um outra forma é utilizar o algoritmo de Newton:
    http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2008/11/mtodo-de-newton-para-aproximo-de-raz.html

    o exemplo está de uma raiz quadrada, mas é só adaptar para raiz cúbica.

    Se encontrar algum outro método, coloco aqui.

    Abraços.

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  19. Prezado Kleber
    Mestre por favor me ajude. Acho que vou enlouquecer, me explique porque o volume de um cilindro calculado atraves da formula (pi x r^2 x h) é diferente do resultado obtido através do cálculo da revolução de uma pá em torno do eixo. exemplo:
    imagine um cilindro de raio igual a 4 e altura igual a 10,com base circular, seu volume é igual a 160 pi uv3, não é isso?
    se eu calculo a área da pá ( 4 x 10 = 40) e faço ela girar em torno da circunferência, não seria 40 x 8 pi= 320 pi, onde está o meu erro?

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  20. Sempre que eu partir um cone ao meio ficando um novo cone e um tronco de cone, o novo cone será equivalente a um oitavo do volume total do cone original????

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    Respostas
    1. Sim. Seja $h$ a altura de um cone de raio $R$. Seu volume será de $\displaystyle \frac{1}{3}\pi R^2 h$.

      Ao seccionarmos o cone na metade de sua altura, será gerado um novo cone de altura $h/2$ e raio $r$. O volume desse novo cone será de $\displaystyle \frac{1}{6} \pi r^2 h$.

      Escrevendo $R$ em função de $r$, obtemos: $R=2r$.

      Agora, descobriremos a proporção entre os volumes. Seja $V$ o volume do cone original de raio $R$; e seja $v$ o volume do cone de raio $r$:
      $$\frac{V}{v}=\frac{\frac{4\pi r^2 h}{3}}{\frac{\pi r^2 h}{6}}=8$$
      $$V=8v$$

      Um abraço.

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  21. Parabéns pelo blog!
    É possível demonstrar a partir do volume do cilindro?
    Grato.

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    1. É possível se levar em conta que o volume do cone é 1/3 do volume do cilindro circunscrito.

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  22. Parabens! Mas suponhamos que eu tenha um balde em formato de tronco de cone e eu queira saber qual a altura deve ser preenchida com liquido para que eu tenha por exemplo a metade do volume do balde cheio... Eu não tive ainda muito tempo para pensar nisso, mas quero encontrar uma formula para calcular o volume em função da altura, mas nesse caso, o "R" se torna variável. Vou tentar desenferrujar a cabeça hoje rsrs.

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    Respostas
    1. Olá. Utilizando a fórmula para o volume do tronco de cone, temos que isolar o $h$, que será a altura do nível de água. O volume $V$ será fixo. Tentei isolar o $h$, mas a equação complicou e não consegui. É um problema interessante e vou continuar a tentar achar uma solução.

      Abraços.

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  23. Olá! Fiz a demonstração matemática da fórmula do volume de um tronco de cone usando integral. Você pode ver no link abaixo:

    https://pt.scribd.com/document/422433782/Volume-Do-Tronco-de-Cone-Deducao-Da-Formula-Usando-Integral

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    Respostas
    1. Ficou muito boa. Parabéns e obrigado por compartilhar. Um abraço!

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