2 de dez de 2008

Uma breve cronologia de $\pi$

A razão entre o perímetro de uma circunferência e seu diâmetro é dada por $\pi$ (pi), aproximadamente $3,1416$. Foi exaustivamente estudado e historicamente temos que no Oriente antigo tomava-se frequentemente o número $3$ como uma aproximação de $\pi$. Para a quadratura do círculo egípcia encontrada no papiro de Rhind, temos $\pi = \left(\frac{4}{3}\right)^4\approx 3,1604$. Porém, a primeira tentativa científica de calcular $\pi$ parece ter sido de Arquimedes e será por esta realização que se inicia esta cronologia.


$240\ a.C.$

Simplificando a questão, suponhamos um círculo de diâmetro unitário. Então o comprimento do círculo situa-se entre o perímetro de qualquer polígono regular inscrito e a de qualquer polígono regular circunscrito. Uma vez que é uma questão simples calcular os perímetros dos hexágonos regulares inscritos e circunscritos, facilmente se obtém limites para $\pi$. Mas há fórmulas que nos dizem, a partir de um par dado de polígonos regulares inscritos e circunscritos, como se podem obter os perímetros dos polígonos regulares inscrito e circunscrito com o dobro de número de lados. Por aplicações sucessivas desse processo, podemos calcular os perímetros dos polígonos regulares inscrito e circunscrito de doze, vinte e quatro, quarenta e oito, noventa e seis lados, e dessa forma, obter limites cada vez mais próximos de $\pi$. Foi essencialmente isso que Arquimedes fez, chegando a conclusão de que $\pi$ está entre $233/71$ e $22/7$ ou que, até a segunda casa decimal, $\pi$ é dado por 3,14. Esse trabalho se encontra num tratado de Arquimedes, constituído de três preposições apenas e que se intitula A medida de um círculo. Esse tratado não chegou até nós em sua forma original e pode tratar-se apenas de um fragmento de uma discussão mais ampla. Considerando-se as limitações enormes do sistema de numeração de sua época, uma conclusão inevitável é que Arquimedes era um exímio calculista e, senão, o maior de sua época. Encontram-se no trabalho algumas aproximações racionais de raízes quadradas irracionais verdadeiramente notáveis.

Esse método utilizado por Arquimedes, baseado nos polígonos regulares inscritos e circunscritos é conhecido como método clássico de cálculo de $\pi$.

$150$

Depois de Arquimedes, a primeira aproximação notável de $\pi$ foi dado por Cláudio Ptolomeu em sua famosa Syntaxis mathematica, mais popularmente conhecida como Almagesto, a maior obra de astronomia produzida na Grécia antiga. O valor de $\pi$ nesta obra é, em notação sexagesimal, $3,8^{\prime}30^{\prime \prime}$, que é $377/120$ ou $3,1416$. Sem dúvida esse valor foi obtido a partir de uma tábua de cordas que há no tratado. A tábua fornece os comprimentos das cordas de um círculo correspondentes aos ângulos centrais de $0^\circ$ a $18^\circ$, com incrementos de meio grau. Multiplicando-se o comprimento do diâmetro central de $1^\circ$ por $360^\circ$ e dividindo-se o resultado pelo comprimento do diâmetro do círculo, obtém-se o valor de $\pi$ dado acima.

$480$

O mecânico chinês Tsu Ch'ung-chih deu a interessante aproximação racional correta até a sexta casa decimal:
\begin{equation*}
\frac{355}{113}=3,1415929\cdots
\end{equation*}

$530$

Um dos mais antigos matemáticos hindus, Ᾱryabhata, forneceu $62.832/20.000=3,1416$ como valor aproximado de $\pi$. Não se sabe exatamente como esse resultado foi obtido. Pode ser que tenha sido de fontes gregas mais antigas ou, talvez, do cálculo do perímetro de um polígono regular inscrito de $384$ lados.

$1150$

O matemático hindu posterior, Bhāskara, deu várias aproximações de $\pi$: usava $3927/1250=3,1416$ como um valor acurado; usava $22/7\approx 3,1428$ como um valor impreciso e $\sqrt{10}$ como valor para trabalhos corriqueiros. O primeiro valor pode ter sido tomado de Ᾱryabhata. É de origem incerta outro valor: $754/240\approx 3,1416$, dado por Bhāskara (trata-se do mesmo valor de Ptolomeu).

$1429$

Al-Kashi, assistente do astrônomo real de Samarcanda, Ulugh Beg, calculou $\pi$ até a décima sexta casa decimal pelo método clássico.

$1579$

O eminente matemático francês François Viète encontrou $\pi$ corretamente até a nona casa decimal pelo método clássico usando polígonos de $6(2^{16}) = 393.216$ lados. Descobriu também o equivalente do interessante produto infinito:
\begin{equation*}

\frac{2}{\pi} = \frac{\sqrt{2}}{2}\ \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\ \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\ \cdots

\end{equation*}

$1585$

Adriaen Anthoniszoon redescobriu a antiga razão chinesa $355/113$. Aparentemente foi um golpe de sorte, pois tudo que ele mostrou foi que:
\begin{equation*}
\frac{377}{120} > \pi >\frac{333}{106}
\end{equation*}
Ele então fez a média aritmética dos numeradores e dos denominadores para obter o valor "exato" de $\pi$. Há indícios de que Valentin Otho, um discípulo de Rhaeticus, um dos primeiros construtores de tábuas, pode ter introduzido essa razão para $\pi$ no mundo ocidental numa da ligeiramente anterior, $1573$.

$1593$

O holandês Adriaen von Roomen, mais conhecido como Adriaen Romanus, determinou $\pi$ corretamente até a décima quinta casa decimal pelo método clássico, usando um polígono de $2^{30}$ lados.

$1610$

O holandês Ludolph van Ceulen calculou $\pi$ até a trigésima quinta casa decimal pelo método clássico, usando polígonos de $2^{62}$ lados. Ceulen gastou grande parte de sua vida nessa tarefa e seu feito foi considerado tão extraordinário que sua viúva fez gravar o número em seu túmulo (hoje perdido) no adro da igreja de São Pedro em Leyden. Até hoje o número $\pi$ é às vezes chamado de "número ludolphiano".

$1621$

O físico holandes Willebrord Snell, mais conhecido por sua descoberta da lei da refração, descobriu um aperfeiçoamento trigonométrico do método clássico de calcular $\pi$, tal que, de cada par de limites para $\pi$ dado pelo método clássico, ele era capaz de obter limites consideravelmente mais próximos. Com seu método conseguiu obter as trinta e cinco casas decimais de van Ceulen usando polígonos de apenas $2^{30}$ lados. Com esses polígonos, o método clássico fornece apenas quinze casas. Para polígonos de noventa e seis lados, o método clássico fornece duas casas decimais, ao passo que o aperfeiçoamento de Snell fornece sete casas. Em $1654$ o matemático e físico holandês Christiaan Huygens forneceu uma demonstração correta do refinamento de Snell.

$1630$

Usando o refinamento de Snell, Grienberger calculou $\pi$ até a trigésima nona casa decimal. Essa foi a última tentativa importante de calcular $\pi$ pelo método dos perímetros.

$1650$

O matemático inglês John Wallis obteve a curiosa expressão:
\begin{equation*}
\frac{\pi}{2}=\frac{2\cdot 2 \cdot 4 \cdot 4\cdot 6\cdot 6\cdot8 \cdot\ \cdots\ }{1\cdot 3\cdot 3\cdot 5\cdot 5\cdot 7\cdot 7\cdot \ \cdots\ }
\end{equation*}

Lord Brouncker, o primeiro presidente da royal Society, converteu o resultado de Wallis na fração contínua:
\begin{equation*}
\frac{\pi}{4}=1+\frac{1^2}{\displaystyle 2+\frac{3^2}{\displaystyle 2+\frac{5^2}{\displaystyle 2+\cdots}}}
\end{equation*}

$1671$

O matemático escocês James Gregory obteve a série infinita:
\begin{equation*}
\text{arctg}(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots \quad (-1 \leq x \leq 1)
\end{equation*}
Passou despercebido a Gregory que, para $x=1$ a série torna-se:
\begin{equation*}
\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots
\end{equation*}
Essa série, que converge muito lentamente, era conhecida de Leibniz em $1674$. Gregory tentava provar que é impossível uma solução euclidiana do problema da quadratura. do círculo.

$1669$

Abraham Sharp encontrou acertadamente as primeiras setenta e uma casas decimais de $\pi$ usando a série de Gregory para:
\begin{equation*}
x=\sqrt{\frac{1}{3}}
\end{equation*}

$1706$

John Machin obteve cem casas decimais usando a série de Gregory juntamente com a relação:
\begin{equation*}

\frac{\pi}{4}=4\ \text{arctg}\left(\frac{1}{5}\right) - \text{arctg}\left(\frac{1}{239}\right)

\end{equation*}

$1719$

O matemático francês De Langny obteve corretamente $112$ casas decimais usando a série de Gregory para:
\begin{equation*}
x = \sqrt{\frac{1}{3}}
\end{equation*}

$1737$

O símbolo $\pi$ fora usado anteriormente pelos matemáticos ingleses Willian Oughtred, Isaac Barrow e David Gregory para designar a circunferência de um círculo. O primeiro a usar esse símbolo para a razão entre a circunferência e o diâmetro foi o escritor inglês William Jones, numa publicação de $1706$. Porém, o símbolo só encontrou aceitação geral depois que Euler o adotou em $1737$.

$1754$

O francês Jean Étienne Montucla, um dos primeiros historiadores da matemática, escreveu uma história do problema da quadratura.

$1755$

A Academia de Ciências da França declinou examinar qualquer solução mais do problema da quadratura.

$1767$

Johann Heinrich Lambert provou que $\pi$ é irracional.

$1777$

O conde de Buffon concebeu seu famoso problema da agulha pelo qual pode-se aproximar $\pi$ por métodos probabilísticos. Suponhamos que se tracem num plano horizontal um número grande de retas paralelas equidistantes entre si. Sendo $d$ a distância entre duas retas vizinhas quaisquer, Buffon mostrou que a probabilidade de que uma agulha de comprimento $L < d$, lançada ao acaso sobre o plano, caia cortando uma das retas é dada por:
\begin{equation*}
p = \frac{2L}{\pi d}
\end{equation*}

Realizando-se efetivamente esse experimento um número grande de vezes e anotando-se os casos positivos, obtém-se um valor empírico de $p$ que podemos usar na fórmula acima para calcular uma aproximação de $\pi$. O melhor resultado por este caminho foi conseguido pelo italiano Lazzerini em $1901$. Com $3408$ lançamentos da agulha ele obteve $\pi$ corretamente até a sexta casa decimal! Seu resultado é superior ao de outros experimentos às vezes visto com suspeição; Há outros métodos probabilísticos para calcular $\pi$. Assim é que, em $1904$, R. Chartres relatou uma aplicação do conhecido fato de que se dois inteiros positivos são escritos ao acaso, a probabilidade de que eles sejam primos entre si é de $6/\pi^2$.

$1794$

Adrien-Marie Legendre mostrou que $\pi ^2$ é irracional.

$1841$

O inglês William Rutherford calculou $\pi$ com $208$ casas (sendo $152$ corretas, como se mostrou mais tarde), usando a série de Gregory juntamente com a relação:
\begin{equation*}
\frac{\pi}{4}=4\ \text{arctg}\left(\frac{1}{5}\right)-\text{arctg}\left(\frac{1}{70}\right)+\text{arctg}\left(\frac{1}{99}\right)
\end{equation*}

$1844$

O calculista relâmpago Zacharias Dase encontrou $\pi$ corretamente até a ducentésima casa decimal usando a série de Gregory, juntamente com a relação:
\begin{equation*}
\frac{\pi}{4}=\text{arctg}\left(\frac{1}{2}\right)+\text{arctg}\left(\frac{1}{5}\right)+\text{arctg}\left(\frac{1}{8}\right)
\end{equation*}
Dase, que nasceu em Hamburgo em $1824$, morreu prematuramente aos trinta e sete anos de idade. Talvez tenha sido ele o mais extraordinário calculista mental de todos os tempos. Dentre suas façanhas, figura o cálculo mental do produto de dois números de vinte algarismos em seis minutos, de dois números de quarenta algarismos em quarenta minutos e de dois números de cem algarismos em oito horas e quarenta minutos. Calculou também a raiz quadrada de um número de cem dígitos em cinquenta e dois minutos. Dase fez um uso mais valioso de seus poderes quando construiu uma tábua de logaritmos naturais de sete casas e uma tábua de fatores de todos os números entre $7.000.000$ e $10.000.000$.

$1853$

Rutherford retornou ao problema e obteve corretamente $400$ casas decimais.

$1873$

O inglês William Shanks, usando a fórmula de Machin, calculou $\pi$ com $707$ casas decimais. Por um longo tempo esse foi o feito mais fabuloso em termos de computação.

$1882$

Um número se diz algébrico se é raiz de algum polinômio não-nulo de coeficientes racionais, caso contrário, se diz transcendente. F. Lindermann provou que $\pi$ é transcendente$. Esse fato garante que o problema da quadratura não pode ser resolvido com instrumentos euclidianos.

$1906$

Dentre as curiosidades ligadas a $\pi$ há várias mnemônicas que foram concebidas para memorizar esse número até um número grande de casas decimais. Os seguintes versos em inglês, de A.C.Orr, apareceram no Literary Digest. Basta substituir cada palavra pelo número de letras que a compõe para obter $\pi$ corretamente até a trigésima casa decimal:

Now I, even I, would celebrate
In rhymes unapt, the great
Immrtal Syracusan, rivaled nevermore,
Who in his wondrous lore,
Passed on before,
Left men his guidance,
How to circles mensurate.

Uns anos mais tarde, em 1914, apareceu a seguinte mnemônica semelhante no Scientific American Supplement: "See, I have a rhyme assisting my feeble brain, its tasks ofttimes resisting". Eis outras duas mnemônicas: "How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics" e "May I have a large container of coffee?".

$1948$

Em $1946$ o inglês D. F. Ferguson descobriu erros, começando na $528^a$ casa, no valor encontrado por Shanks para $\pi$ e em $1947$ deu um valor correto com $710$ casas. No mesmo mês o americano J. W. Wrench Jr. publicou o valor de $\pi$ com $808$ casas, mas Ferguson encontrou em erro na $723^a$ casa. Em janeiro de $1948$ Ferguson e Wrench publicaram juntamente um valor correto e testado de $\pi$ com $808$ casas. Wrench usou a fórmula de Machin, ao passo que Ferguson usou a fórmula:
\begin{equation*}
\frac{\pi}{4}=3\ \text{arctg}\left(\frac{1}{4}\right)+\text{arctg}\left(\frac{1}{20}\right)+\text{arctg}\left(\frac{1}{1985}\right)
\end{equation*}

$1949$

O $ENIAC$, computador eletrônico do Amy Ballistic Research Laboratories de Aberdeen, Maryland, calculou $\pi$ com $2037$ casas decimais.

$1959$

François Genuys, em Paris, calculou $\pi$ com $16.167$ casas decimais usando um $IBM-704$.

$1961$

Wrench e Daniel Shanks, de Washington, D. C., calcularam $\pi$ com $100.265$ casas decimais usando um $IBM-7090$.

$1965$

O $ENIAC$, agora obsoleto, foi desmontado e transportado para o Smithsonian Intitution como peça de museu.

$1966$

Em $22$ de fevereiro, M. Jean Guilloud e seus colegas de trabalho na Comissão de Energia Atômica de Paris obtiveram uma aproximação de $\pi$ que alcançava $250.000$ casas decimais, num computador $STRETCH$.

$1967$

Exatamente um ano depois os mesmos pesquisadores, usando um $CDC-6600$, encontraram uma aproximação de $\pi$ com $500.000$ casas decimais.

$1973$

Guilloud e seus colegas encontraram uma aproximação de $\pi$ com $1.000.000$ de casas decimais, usando um $CDC-7600$.

$1981$

Os dois matemáticos japoneses Kazunori Miyoshi e Kazuhika Nakayama, da Universidade de Tsukuba, calcularam $\pi$ com $2.000.038$ algarismos em $137,30$ horas, num computador $FACOM\ M-200$. Eles usaram a fórmula:
\begin{equation*}
\pi =32\ \text{arctg}\left(\frac{1}{10}\right)-4\ \text{arctg}\left(\frac{1}{239}\right)-16\ \text{arctg}\left(\frac{1}{515}\right)
\end{equation*}
e testaram seu resultado na fórmula de Machin.

$1986$

Em janeiro de $1986$, D. H. Bailey da NASA, Ames Research Califórnia, fez funcionar uma supercomputador $CRAY-2$ por $28$ horas para obter $\pi$ com $29.360.000$ dígitos. Seu código baseava-se num algoritmo de J. M e P. D. Borwein da Universidade Dalhousie Bailey, testou seu código num algoritmo mais lento, também desenvolvido pelos Borwein e verificou a precisão de seu trabalho. Pouco depois, Yasumasa Kanada, da Universidade de Tóquio, usando um supercomputador $NEC\ SX-2$ e o algoritmo dos Borwein, calculou $\pi$ com $13.721.700$ dígitos.

No cálculo de $\pi$ com um número grande de casas decimais há outras questões além do desafio envolvido: Antes de $1767$, quando provou-se que $\pi$ é irracional, uma das razões era verificar se os dígitos de $\pi$ começavam a se repetir e, se fosse esse o caso, obtê-lo como um número racional exato, talvez com um denominador grande. Mas, recentemente, a motivação é conseguir informações estatísticas referentes à “normalidade” de $\pi$.

Um número real se diz simplesmente normal se em sua expansão decimal todos os dez algarismos ocorrem com igual frequência; e se diz normal se todos os blocos de algarismos de um mesmo comprimento ocorrem com igual frequência. Não se sabe se $\pi$ (ou mesmo $\sqrt{2}$) é normal ou mesmo simplesmente normal.

Os cálculos de $\pi$, começando pelo $ENIAC$ em $1949$, foram realizados para fornecer informações estatísticas sobre a questão.

Em relação à possível normalidade de $\pi$ é interessante que a sequência $314159$ dos seis primeiros algarismos de $\pi$, aparecem seis vezes nos primeiros dez milhões de dígitos da expansão de $\pi$ e a sequência $0123456789$ não aparece nunca.

Analogamente, a sequência $271828$ dos seis primeiros dígitos de $e$, base do logaritmo natural, ocorre oito vezes nos primeiros dez milhões de algarismos da expansão decimal de $e$.

$2010$

No ano de $2010$ Shigeru Kondo obteve $5$ trilhões de dígitos de $\pi$ em $90$ dias de computação.

$2011$

Em $2011$ aumentou ainda mais a aproximação de $\pi$ para $10$ trilhões de dígitos em $371$ dias de computação.

$2013$

Kondo aumentou para $12,1$ trilhões de dígitos a aproximação de $\pi$, calculados em $94$ dias.

$2014$

Em $8$ de outubro de $2014$, foi calculado por um "houkouonchi", $13,3$ trilhões de dígitos de $\pi$, computado em $208$ dias e verificado em $182$ horas.

Referências:

[1] Introdução à História da Matemática; Eves, Howard; ed. Unicamp
[2] http://www.numberworld.org/y-cruncher/
[3] Wikipedia in english

Veja mais:

O refinamento de Snell
Newton e a série infinita para $\pi$
Aproximação de $\pi$ pelos egípcios
Aproximação de $\pi$ como soma de dois números irracionais

Imprimir


Redes Sociais

Arquivo do Blog