25 de nov de 2008

Frações Unitárias

Os egípcios inventaram métodos engenhosos para contornar as dificuldades ao utilizar frações, representando-as como soma de frações unitárias, ou seja, aquelas com numerador igual a 1.

Utilizavam tábuas para representar frações do tipo 2/n, exceto 2/3, contendo todos os ímpares de 5 a 101.

No Papiro de Rhindi, encontra-se 2/7 representado pela soma 1/4 + 1/28, 2/7 por 1/56 + 1/776, 2/99 por 1/66 + 1/198.

Há teorias interessantes para explicar os métodos egípcios nas decomposições de uma fração em uma soma de frações unitárias. Num papiro encontrado em Akhmim, próximo ao Nilo, encontra-se o seguinte método:

Dada uma fração:
clip_image002
pode-se transformar o denominador w em um produto de p por q.
clip_image002[4]
decompondo-a da seguinte maneira:
clip_image002
onde
clip_image002[8]
Para demonstrar essa igualdade, fazemos:
clip_image002[10]

clip_image004

clip_image006

clip_image008

clip_image010

Exemplificando numericamente, vamos decompor 2/21 em uma soma de frações unitárias.

Primeiramente, fazemos o denominador como um produto de p . q:

clip_image002

assim temos:

clip_image002[14]

clip_image004[4]

clip_image002[16]

clip_image002[4]

clip_image006[4]

Pela calculadora temos:
clip_image002[18]
e
clip_image002[20]


Veja Mais:

O Seqt de uma Pirâmide
Método da Falsa Posição

13 comentários:

  1. este site e optimo

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    Respostas
    1. É possivel decompor em fracçao unitaria a fracçao 7/5

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    2. Sim. Primeiro transforme a fração em uma fração própria.
      $$\frac {7}{5}= 1 + \frac{2}{5} $$
      Agora fazemos $ z=2$, $ p=5$ e $ q=1$. Em seguida encontramos $ r =3$. Agora aplicamos na fórmula:
      $$\frac {z}{pq} = \frac {1}{5 \cdot 3} + \frac {2}{1\cdot 3} = \frac {1}{15 } + \frac {1}{3} + 1$$

      O $1$ adicionado no final é o inteiro que veio da transformação da fração própria.

      Excluir
  2. Obrigado amigo, por sua visita e seu elogio!

    Um abraço.

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  3. Então como calcular 9/10?

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    Respostas
    1. Olá amigo. Pergunta interessante. Pelo algoritmo deste artigo não consegui chegar a um resultado. Vou pesquisar e depois adiciono aqui. No entanto, podemos escrever 9/10 como:

      $$\frac{9}{10}=\frac{27}{30}=\frac{15+10+2}{30}=\frac{15}{30}+\frac{10}{30}+\frac{2}{30}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{15}$$

      Espero em breve responder à sua dúvida.

      Abraços.

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  4. como posso calcular 2/103 é possível?

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    Respostas
    1. Olá Evelyn. Sim é possivel. Veja:

      Seja $\frac{z}{w}=\frac{2}{103}$. Fazemos $x=p\cdot q$, assim $\frac{z}{p\cdot q}$. Agora decompomos:

      $$\frac{z}{p \cdot q}=\frac{1}{p\cdot r}+\frac{1}{q\cdot r}$$
      onde
      $$r=\frac{p+q}{z}$$
      Assim:
      $$\frac{2}{103} \Rightarrow w=103$$
      Como $103$ é primo, fazemos $p=1$ e $q=103$. Assim: $103=1 \cdot 103$. E para:
      $$r=\frac{1+103}{2}=52$$
      Assim:
      $$\frac{2}{103}=\frac{1}{1\cdot 52}+\frac{1}{103 \cdot 52}=\frac{1}{52}+\frac{1}{5356}$$
      Se você tirar o mmc entre as duas frações, verá que obterá a fração original.

      Abraços.

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  5. pode me informar quem achou e quem traduziu o papiro?

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    Respostas
    1. Amanda, veja este pdf, tem bastante informação boa:

      http://goo.gl/wHgv5D

      Um abraço.

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  6. kleber estou no sexto ano e quero muito que responda esta pergunta pois estou com uma duvida muito grande QUAL E A RAIZ QUADRADA DE 10
    e por favor me diga como chegou a esse resultado
    bjos :)

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    Respostas
    1. Bem, acredito que queira um método manual de encontrar raiz quadrada. Sugiro ler estes artigos nos links abaixo, pois cada um traz um método diferente de se calcular a raiz quadrada de qualquer número:

      1) Método babilônio:
      http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2008/11/mtodo-babilnico-para-aproximao-de-raz.html
      2) Método de Herão:
      http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2008/11/mtodo-de-hero-para-aproximao-de-raz.html
      3) Método de Newton:
      http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2008/11/mtodo-de-newton-para-aproximo-de-raz.html
      4) Outro Método:
      http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2011/01/mais-um-metodo-para-aproximar-raiz.html

      Tomando o método de Herão: seja $n=10$. Tomemos uma aproximação inicial para a raiz. Vamos tomar $3$, que é a raiz quadrada de $9$ (bem próximo de $10$). Então, $a_0=3$:
      $$a_1 = \frac{\displaystyle a_0+\frac {n}{a_0}}{2} = \frac{\displaystyle 3+\frac {10}{3}}{2} = 3,16666$$
      $$a_2 = \frac{\displaystyle a_1+\frac {n}{a_1}}{2}= \frac{\displaystyle 3,16666+\frac {10}{3,16666}}{2} =3,162287$$
      $$ a_3 = \frac{\displaystyle a_2+\frac {n}{a_2}}{2} = \frac{\displaystyle 3,162287+\frac {10}{3,162287}}{2} = 3,162277$$
      Geralmente no terceiro ou quarto passo já se tem uma boa aproximação. Se você considerar mais casas decimais e mais iterações, no fim terá uma aproximação da raiz ainda melhor.

      Espero ter ajudado.

      Um abraço.

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